Страница 33 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

4.7. Проверьте, выполняется ли равенство Эйлера для многогранников, изображенных на рисунке 4.5.

а)

б)

Рис. 4.5

Равенство Эйлера для многогранников, топологически эквивалентных сфере, связывает число их вершин (В), рёбер (Р) и граней (Г) следующей формулой:

$В - Р + Г = 2$

Проверим, выполняется ли это равенство для многогранников, изображенных на рисунке.

а)

Решение

Для многогранника на рисунке а) подсчитаем количество вершин, рёбер и граней.

Вершины (В): Многогранник имеет 4 вершины на нижнем основании и 6 вершин, образующих верхний L-образный контур. Таким образом, общее число вершин составляет $В = 4 + 6 = 10$.

Рёбра (Р): Чтобы найти число рёбер, можно подсчитать сумму степеней всех вершин (степень вершины — это количество рёбер, которые в ней сходятся). Сумма степеней всех вершин равна удвоенному числу рёбер. В данном многограннике каждая из 10 вершин имеет степень 3 (в каждой сходится по 3 ребра). Следовательно, сумма степеней равна $10 \times 3 = 30$. Число рёбер равно $Р = 30 / 2 = 15$.

Грани (Г): Подсчитаем грани многогранника. Он имеет 1 нижнюю грань, 2 верхние грани (прямоугольники), 1 переднюю L-образную грань, 1 заднюю L-образную грань, 1 левую боковую и 1 правую боковую грань. Итого: $Г = 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 = 7$.

Подставим найденные значения в формулу Эйлера:

$В - Р + Г = 10 - 15 + 7 = 2$

Равенство Эйлера выполняется.

Ответ: для многогранника а) равенство Эйлера выполняется ($10 - 15 + 7 = 2$).

б)

Решение

Для многогранника на рисунке б) также подсчитаем количество вершин, рёбер и граней.

Вершины (В): У многогранника 4 вершины на нижнем основании. Верхняя поверхность с двумя пазами имеет 12 вершин (по 4 на каждой из трех "ступенек"). Общее число вершин: $В = 4 + 12 = 16$.

Рёбра (Р): Подсчитаем рёбра через степени вершин. У многогранника 4 нижние угловые вершины со степенью 3, и 4 верхние крайние угловые вершины также со степенью 3. Остальные 8 вершин, расположенные по краям двух пазов, имеют степень 4. Сумма степеней всех вершин равна $(4 \times 3) + (4 \times 3) + (8 \times 4) = 12 + 12 + 32 = 56$. Таким образом, число рёбер $Р = 56 / 2 = 28$.

Грани (Г): Подсчитаем грани. Имеется 1 нижняя, 1 передняя, 1 задняя, 1 левая и 1 правая боковая грань. Верхняя поверхность разделена пазами на 3 прямоугольные грани. Каждый из двух пазов состоит из 3 граней (две боковые стенки и дно). Итого: $Г = 1(низ) + 1(перед) + 1(зад) + 1(лево) + 1(право) + 3(верх) + 2 \times 3(пазы) = 5 + 3 + 6 = 14$.

Подставим найденные значения в формулу Эйлера:

$В - Р + Г = 16 - 28 + 14 = 2$

Равенство Эйлера выполняется.

Ответ: для многогранника б) равенство Эйлера выполняется ($16 - 28 + 14 = 2$).

4.8. Выполняется ли соотношение Эйлера для невыпуклой призмы?

Решение

Да, соотношение Эйлера выполняется для невыпуклой призмы.

Соотношение (или формула) Эйлера для многогранников гласит, что для любого простого многогранника (то есть многогранника, поверхность которого гомеоморфна сфере, без "сквозных" отверстий) число вершин (В), минус число рёбер (Р), плюс число граней (Г) равно 2:

$В - Р + Г = 2$

Призма является простым многогранником независимо от того, является ли многоугольник в её основании выпуклым или невыпуклым. Невыпуклость основания не создаёт "отверстий" в теле призмы, поэтому её поверхность по-прежнему гомеоморфна сфере, и формула Эйлера для неё применима.

Чтобы доказать это в общем виде, рассмотрим произвольную n-угольную призму, основанием которой является простой n-угольник (не обязательно выпуклый).

Подсчёт вершин (В): У призмы есть два основания, каждое из которых является n-угольником. Каждый n-угольник имеет $n$ вершин. Следовательно, общее число вершин призмы равно $В = 2 \times n = 2n$.

Подсчёт граней (Г): У призмы есть два основания (верхнее и нижнее) и $n$ боковых граней, соединяющих соответствующие стороны оснований. Таким образом, общее число граней равно $Г = n + 2$.

Подсчёт рёбер (Р): У каждого из двух оснований есть $n$ рёбер. Кроме того, есть $n$ боковых рёбер, соединяющих соответствующие вершины оснований. Общее число рёбер равно $Р = n + n + n = 3n$.

Теперь подставим полученные значения в формулу Эйлера:

$В - Р + Г = (2n) - (3n) + (n + 2)$

$В - Р + Г = 2n - 3n + n + 2 = (2n + n - 3n) + 2 = 0 + 2 = 2$

Как видно из вычислений, результат всегда равен 2 и не зависит от числа сторон многоугольника в основании ($n$) или от его выпуклости. Главное, чтобы многоугольник в основании был простым (несамопересекающимся).

В качестве примера рассмотрим призму, в основании которой лежит невыпуклый шестиугольник (например, в форме буквы "Г"). В этом случае $n=6$.

Вершины: $В = 2 \times 6 = 12$.

Рёбра: $Р = 3 \times 6 = 18$.

Грани: $Г = 6 + 2 = 8$.

Проверим соотношение: $12 - 18 + 8 = -6 + 8 = 2$. Соотношение выполняется.

Ответ: Да, соотношение Эйлера $В - Р + Г = 2$ выполняется для любой невыпуклой призмы, так как она является простым многогранником, для которого эта формула справедлива.

4.9. Выполняется ли соотношение Эйлера для невыпуклой пирамиды?

4.10. Найдите число вершин, ребер и граней для многогранника

Да, соотношение Эйлера для невыпуклой пирамиды выполняется.

Решение

Соотношение Эйлера для многогранников устанавливает связь между числом вершин (В), рёбер (Р) и граней (Г) для любого простого многогранника (то есть многогранника, поверхность которого гомеоморфна сфере, без сквозных отверстий). Формула имеет вид:
$В - Р + Г = 2$

Невыпуклая пирамида — это пирамида, в основании которой лежит невыпуклый многоугольник. Несмотря на невыпуклость основания, такая пирамида все равно является простым многогранником, так как у нее нет сквозных отверстий. Следовательно, для неё должно выполняться соотношение Эйлера.

Докажем это, посчитав количество вершин, рёбер и граней для n-угольной пирамиды, где основание — произвольный n-угольник (выпуклый или невыпуклый).
- Вершины (В): у n-угольного основания есть $n$ вершин. Пирамида имеет еще одну вершину — апекс. Итого: $В = n + 1$.
- Рёбра (Р): у n-угольного основания $n$ рёбер. Также есть $n$ боковых рёбер, соединяющих каждую вершину основания с апексом. Итого: $Р = n + n = 2n$.
- Грани (Г): одна грань — это само n-угольное основание. Кроме того, есть $n$ треугольных боковых граней. Итого: $Г = 1 + n$.

Теперь подставим полученные значения в формулу Эйлера:
$В - Р + Г = (n + 1) - 2n + (n + 1) = n + 1 - 2n + n + 1 = 2$

Результат вычисления равен 2 и не зависит от формы n-угольника в основании (то есть от его выпуклости или невыпуклости). Таким образом, соотношение Эйлера справедливо для любой пирамиды, в том числе и невыпуклой.

Ответ: Да, выполняется. Соотношение Эйлера ($В - Р + Г = 2$) справедливо для всех простых многогранников, к которым относятся и невыпуклые пирамиды. Невыпуклость основания не изменяет количество вершин, рёбер и граней многогранника, поэтому формула остаётся верной.

4.10. Найдите число вершин, ребер и граней для многогранника, изображенного на рисунке 4.6. Выполняется ли для него соотношение Эйлера?

Рис. 4.6

Решение

Найдем число вершин, ребер и граней для многогранника.

Для многогранника, изображенного на рисунке, который является усеченной четырехугольной пирамидой, подсчитаем количество его элементов:

- Число вершин (В): Многогранник имеет два основания, верхнее и нижнее, каждое из которых является четырехугольником. На верхнем основании 4 вершины и на нижнем 4 вершины. Общее число вершин: $В = 4 + 4 = 8$.

- Число ребер (Р): Верхнее основание образовано 4 ребрами, нижнее основание — также 4 ребрами. Кроме того, есть 4 боковых ребра, которые соединяют соответствующие вершины оснований. Общее число ребер: $Р = 4 + 4 + 4 = 12$.

- Число граней (Г): Многогранник имеет 2 грани-основания (верхнюю и нижнюю) и 4 боковые грани (трапеции). Общее число граней: $Г = 2 + 4 = 6$.

Ответ: 8 вершин, 12 ребер, 6 граней.

Выполняется ли для него соотношение Эйлера?

Соотношение Эйлера для выпуклых многогранников связывает число вершин (В), ребер (Р) и граней (Г) следующей формулой:

$В - Р + Г = 2$

Подставим найденные значения в эту формулу для проверки:

$8 - 12 + 6 = 2$

$-4 + 6 = 2$

$2 = 2$

Равенство является верным, следовательно, для данного многогранника соотношение Эйлера выполняется.

Ответ: Да, выполняется.

4.11. В каждой вершине выпуклого многогранника сходится квадрат и четыре треугольника (рис. 4.7). Найдите число вершин ($B$), ребер ($P$) и граней ($Г$) этого многогранника.

Рис. 4.7

Решение

Пусть В – число вершин, Р – число ребер, Г – число граней многогранника. Обозначим число треугольных граней как $Г_3$, а число квадратных граней как $Г_4$. Тогда общее число граней $Г = Г_3 + Г_4$.

Для нахождения В, Р и Г мы установим связи между этими величинами, исходя из условия задачи, а затем воспользуемся формулой Эйлера для выпуклых многогранников.

1. Связь между вершинами и ребрами.
По условию, в каждой вершине сходится один квадрат и четыре треугольника. Это означает, что в каждой вершине сходится 5 ребер. Сумма степеней всех вершин многогранника равна $5 \cdot В$. Согласно лемме о рукопожатиях, эта сумма также равна удвоенному числу ребер ($2Р$). Таким образом, получаем первое соотношение:
$5В = 2Р$
Отсюда $Р = \frac{5В}{2}$.

2. Связь между вершинами и гранями.
Рассмотрим количество вершин, принадлежащих граням разного типа.
Каждая вершина многогранника принадлежит ровно одной квадратной грани. Если мы просуммируем все вершины по всем квадратным граням (у каждой из $Г_4$ граней по 4 вершины), мы посчитаем каждую вершину многогранника один раз. Следовательно:
$4Г_4 = В$, откуда $Г_4 = \frac{В}{4}$.
Аналогично, каждая вершина принадлежит четырем треугольным граням. Если мы просуммируем все вершины по всем треугольным граням (у каждой из $Г_3$ граней по 3 вершины), мы посчитаем каждую вершину многогранника четыре раза. Следовательно:
$3Г_3 = 4В$, откуда $Г_3 = \frac{4В}{3}$.

3. Применение формулы Эйлера.
Формула Эйлера для выпуклых многогранников имеет вид: $В - Р + Г = 2$.
Выразим общее число граней Г через В:
$Г = Г_3 + Г_4 = \frac{4В}{3} + \frac{В}{4} = \frac{16В + 3В}{12} = \frac{19В}{12}$.
Теперь подставим выражения для Р и Г в формулу Эйлера:
$В - \frac{5В}{2} + \frac{19В}{12} = 2$
Приведем уравнение к общему знаменателю 12:
$\frac{12В}{12} - \frac{30В}{12} + \frac{19В}{12} = 2$
$\frac{12В - 30В + 19В}{12} = 2$
$\frac{В}{12} = 2$
Отсюда находим число вершин:
$В = 24$.

4. Нахождение числа ребер и граней.
Зная число вершин, находим число ребер:
$Р = \frac{5В}{2} = \frac{5 \cdot 24}{2} = 60$.
И число граней:
$Г = \frac{19В}{12} = \frac{19 \cdot 24}{12} = 38$.
Проверим полученные значения. Число треугольных граней $Г_3 = \frac{4 \cdot 24}{3} = 32$. Число квадратных граней $Г_4 = \frac{24}{4} = 6$. Общее число граней $Г = 32 + 6 = 38$. Все значения целые, что подтверждает корректность расчетов.
Проверка по формуле Эйлера: $24 - 60 + 38 = 2$. Равенство выполняется.

Ответ: число вершин В = 24, число ребер Р = 60, число граней Г = 38.

4.12. Докажите, что в любом выпуклом многограннике найдется треугольная, или четырехугольная, или пятиугольная грань.

Решение

Доказательство проведем методом от противного. Предположим, что существует выпуклый многогранник, у которого каждая грань имеет не менее 6 сторон (то есть является шестиугольником или многоугольником с большим числом сторон).

Обозначим:
$В$ — число вершин многогранника;
$Р$ — число ребер многогранника;
$Г$ — число граней многогранника.

Для любого выпуклого многогранника справедлива формула Эйлера:
$В - Р + Г = 2$

Теперь установим связь между числом ребер $Р$ и числом граней $Г$. Пусть $Г_k$ — это число граней, имеющих $k$ сторон. Если мы просуммируем количество ребер для каждой грани, то каждое ребро будет посчитано дважды, так как оно принадлежит ровно двум граням. Следовательно, удвоенное число ребер равно сумме числа сторон всех граней:
$2Р = \sum_{k \ge 3} k \cdot Г_k$

Согласно нашему предположению, в многограннике нет треугольных, четырехугольных и пятиугольных граней. Это означает, что $Г_3 = 0$, $Г_4 = 0$, $Г_5 = 0$. Таким образом, каждая грань имеет как минимум 6 ребер ($k \ge 6$). Тогда можно записать неравенство:
$2Р = \sum_{k \ge 6} k \cdot Г_k \ge \sum_{k \ge 6} 6 \cdot Г_k = 6 \sum_{k \ge 6} Г_k = 6Г$
Из неравенства $2Р \ge 6Г$ получаем $Р \ge 3Г$, или, что то же самое, $Г \le \frac{Р}{3}$.

Далее установим связь между числом вершин $В$ и числом ребер $Р$. В каждой вершине выпуклого многогранника сходится не менее трех ребер. Если мы просуммируем число ребер, сходящихся в каждой вершине, то каждое ребро будет посчитано дважды (поскольку у каждого ребра две вершины).
Следовательно, $2Р \ge 3В$.
Отсюда получаем, что $В \le \frac{2Р}{3}$.

Теперь подставим полученные неравенства для $В$ и $Г$ в формулу Эйлера:
$2 = В - Р + Г \le \frac{2Р}{3} - Р + \frac{Р}{3}$
$2 \le (\frac{2}{3} - 1 + \frac{1}{3})Р$
$2 \le (\frac{3}{3} - 1)Р$
$2 \le 0 \cdot Р$
$2 \le 0$

Мы пришли к противоречию ($2 \le 0$ — неверное утверждение). Это означает, что наше исходное предположение о том, что у многогранника нет граней с 3, 4 или 5 сторонами, было ложным.

Ответ: Следовательно, в любом выпуклом многограннике обязательно найдется треугольная, или четырехугольная, или пятиугольная грань. Что и требовалось доказать.