Номер 4.9, страница 33 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

4.9. Выполняется ли соотношение Эйлера для невыпуклой пирамиды?

4.10. Найдите число вершин, ребер и граней для многогранника

Да, соотношение Эйлера для невыпуклой пирамиды выполняется.

Решение

Соотношение Эйлера для многогранников устанавливает связь между числом вершин (В), рёбер (Р) и граней (Г) для любого простого многогранника (то есть многогранника, поверхность которого гомеоморфна сфере, без сквозных отверстий). Формула имеет вид:
$В - Р + Г = 2$

Невыпуклая пирамида — это пирамида, в основании которой лежит невыпуклый многоугольник. Несмотря на невыпуклость основания, такая пирамида все равно является простым многогранником, так как у нее нет сквозных отверстий. Следовательно, для неё должно выполняться соотношение Эйлера.

Докажем это, посчитав количество вершин, рёбер и граней для n-угольной пирамиды, где основание — произвольный n-угольник (выпуклый или невыпуклый).
- Вершины (В): у n-угольного основания есть $n$ вершин. Пирамида имеет еще одну вершину — апекс. Итого: $В = n + 1$.
- Рёбра (Р): у n-угольного основания $n$ рёбер. Также есть $n$ боковых рёбер, соединяющих каждую вершину основания с апексом. Итого: $Р = n + n = 2n$.
- Грани (Г): одна грань — это само n-угольное основание. Кроме того, есть $n$ треугольных боковых граней. Итого: $Г = 1 + n$.

Теперь подставим полученные значения в формулу Эйлера:
$В - Р + Г = (n + 1) - 2n + (n + 1) = n + 1 - 2n + n + 1 = 2$

Результат вычисления равен 2 и не зависит от формы n-угольника в основании (то есть от его выпуклости или невыпуклости). Таким образом, соотношение Эйлера справедливо для любой пирамиды, в том числе и невыпуклой.

Ответ: Да, выполняется. Соотношение Эйлера ($В - Р + Г = 2$) справедливо для всех простых многогранников, к которым относятся и невыпуклые пирамиды. Невыпуклость основания не изменяет количество вершин, рёбер и граней многогранника, поэтому формула остаётся верной.