Вопросы, страница 36 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Вопросы

1. Какой выпуклый многогранник называется правильным?

2. Какой многогранник называется:

а) правильным тетраэдром;

б) октаэдром;

в) икосаэдром;

г) гексаэдром;

д) додекаэдром?

3. Кто занимался изучением правильных многогранников?

Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани являются равными (конгруэнтными) правильными многоугольниками и в каждой его вершине сходится одинаковое число рёбер (и, соответственно, граней). Существует всего пять видов правильных выпуклых многогранников.

Ответ: Правильный многогранник — это выпуклый многогранник, у которого все грани — равные правильные многоугольники, и в каждой вершине сходится одно и то же число граней.

2. а) правильным тетраэдром называется правильный многогранник, гранями которого являются четыре равносторонних треугольника. В каждой вершине тетраэдра сходятся три грани. Он имеет 4 грани, 4 вершины и 6 рёбер.

Ответ: Правильный тетраэдр — это многогранник, составленный из четырёх равных равносторонних треугольников.

б) октаэдром (имеется в виду правильный октаэдр) называется правильный многогранник, гранями которого являются восемь равносторонних треугольников. В каждой вершине октаэдра сходятся четыре грани. Он имеет 8 граней, 6 вершин и 12 рёбер.

Ответ: Октаэдр — это многогранник, составленный из восьми равных равносторонних треугольников.

в) икосаэдром (имеется в виду правильный икосаэдр) называется правильный многогранник, гранями которого являются двадцать равносторонних треугольников. В каждой вершине икосаэдра сходятся пять граней. Он имеет 20 граней, 12 вершин и 30 рёбер.

Ответ: Икосаэдр — это многогранник, составленный из двадцати равных равносторонних треугольников.

г) гексаэдром (или кубом) называется правильный многогранник, гранями которого являются шесть квадратов. В каждой вершине гексаэдра сходятся три грани. Он имеет 6 граней, 8 вершин и 12 рёбер.

Ответ: Гексаэдр (куб) — это многогранник, составленный из шести равных квадратов.

д) додекаэдром (имеется в виду правильный додекаэдр) называется правильный многогранник, гранями которого являются двенадцать правильных пятиугольников. В каждой вершине додекаэдра сходятся три грани. Он имеет 12 граней, 20 вершин и 30 рёбер.

Ответ: Додекаэдр — это многогранник, составленный из двенадцати равных правильных пятиугольников.

3. Изучение правильных многогранников имеет долгую историю, уходящую корнями в античность. Эти геометрические тела были предметом восхищения и исследования для многих математиков и философов.

Ключевые фигуры в изучении правильных многогранников:

• Древние греки: Правильные многогранники часто называют «Платоновыми телами».

• Пифагор (VI в. до н.э.) и его последователи, пифагорейцы, как полагают, открыли и изучали тетраэдр, куб и додекаэдр.

• Теэтет Афинский (ок. 417 – 369 гг. до н.э.), друг и ученик Платона, дал математическое описание всех пяти правильных многогранников и, как считается, первым доказал, что их существует ровно пять.

• Платон (ок. 428 – 348 гг. до н.э.) в своём знаменитом диалоге «Тимей» связал четыре правильных многогранника с четырьмя стихиями (огонь — тетраэдр, земля — куб, воздух — октаэдр, вода — икосаэдр), а пятый, додекаэдр, по его мнению, символизировал Вселенную. Благодаря его трудам эти фигуры получили широкую известность.

• Евклид (ок. 300 г. до н.э.) в своей работе «Начала» (книга XIII) дал полное и систематическое математическое описание правильных многогранников, включая методы их построения.

• В эпоху Возрождения Иоганн Кеплер (1571–1630) использовал Платоновы тела для построения своей первой модели Солнечной системы.

Ответ: Изучением правильных многогранников занимались многие учёные, но основополагающий вклад внесли древнегреческие математики и философы: Пифагор, Теэтет Афинский, Платон и Евклид.