Номер 5.3, страница 36 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

5.3. Четырехугольную бипирамиду сложили, совместив основания двух четырехугольных пирамид, боковыми гранями которых являются правильные треугольники. Будет ли получившийся многогранник правильным?

Решение

Правильный многогранник (или платоновское тело) — это выпуклый многогранник, который удовлетворяет двум условиям:
1. Все его грани являются равными (конгруэнтными) правильными многоугольниками.
2. В каждой его вершине сходится одинаковое число граней.

Рассмотрим многогранник, полученный в задаче. Он образован двумя четырёхугольными пирамидами, соединёнными по общему основанию.

1. Анализ граней.
По условию, боковые грани каждой пирамиды — это правильные (равносторонние) треугольники. Пусть сторона такого треугольника равна $a$. Это значит, что боковые рёбра каждой пирамиды равны $a$, и стороны её основания также равны $a$.
Таким образом, основание каждой пирамиды — это четырёхугольник, у которого все стороны равны $a$, то есть ромб. Чтобы все боковые грани были одинаковыми равносторонними треугольниками, основание должно быть квадратом. Если бы основание было ромбом, но не квадратом, то его диагонали были бы не равны. Тогда для сохранения равной длины боковых рёбер пришлось бы сместить вершину пирамиды, и она не была бы правильной, либо боковые грани не были бы одинаковыми. В случае, когда все рёбра (и основания, и боковые) равны, основание обязано быть квадратом.
Следовательно, полученный многогранник (бипирамида) имеет $4 + 4 = 8$ граней, и все они являются равными друг другу правильными треугольниками.
Первое условие для правильного многогранника выполнено.

2. Анализ вершин.
У полученного многогранника есть вершины двух типов:
- Вершины, которые были вершинами исходных пирамид (назовём их полюсами). Таких вершин две. В каждом полюсе сходятся 4 грани — боковые грани одной из пирамид.
- Вершины, принадлежащие общему квадратному основанию. Таких вершин четыре. В каждой из этих вершин сходятся 4 грани: две грани от верхней пирамиды и две от нижней.
Таким образом, в каждой из $2 + 4 = 6$ вершин многогранника сходится ровно 4 грани.
Второе условие для правильного многогранника также выполнено.

Поскольку оба условия выполняются, полученный многогранник является правильным. Такой многогранник называется правильным октаэдром.

Ответ: Да, полученный многогранник будет правильным.