Номер 4.12, страница 33 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

4.12. Докажите, что в любом выпуклом многограннике найдется треугольная, или четырехугольная, или пятиугольная грань.

Решение

Доказательство проведем методом от противного. Предположим, что существует выпуклый многогранник, у которого каждая грань имеет не менее 6 сторон (то есть является шестиугольником или многоугольником с большим числом сторон).

Обозначим:
$В$ — число вершин многогранника;
$Р$ — число ребер многогранника;
$Г$ — число граней многогранника.

Для любого выпуклого многогранника справедлива формула Эйлера:
$В - Р + Г = 2$

Теперь установим связь между числом ребер $Р$ и числом граней $Г$. Пусть $Г_k$ — это число граней, имеющих $k$ сторон. Если мы просуммируем количество ребер для каждой грани, то каждое ребро будет посчитано дважды, так как оно принадлежит ровно двум граням. Следовательно, удвоенное число ребер равно сумме числа сторон всех граней:
$2Р = \sum_{k \ge 3} k \cdot Г_k$

Согласно нашему предположению, в многограннике нет треугольных, четырехугольных и пятиугольных граней. Это означает, что $Г_3 = 0$, $Г_4 = 0$, $Г_5 = 0$. Таким образом, каждая грань имеет как минимум 6 ребер ($k \ge 6$). Тогда можно записать неравенство:
$2Р = \sum_{k \ge 6} k \cdot Г_k \ge \sum_{k \ge 6} 6 \cdot Г_k = 6 \sum_{k \ge 6} Г_k = 6Г$
Из неравенства $2Р \ge 6Г$ получаем $Р \ge 3Г$, или, что то же самое, $Г \le \frac{Р}{3}$.

Далее установим связь между числом вершин $В$ и числом ребер $Р$. В каждой вершине выпуклого многогранника сходится не менее трех ребер. Если мы просуммируем число ребер, сходящихся в каждой вершине, то каждое ребро будет посчитано дважды (поскольку у каждого ребра две вершины).
Следовательно, $2Р \ge 3В$.
Отсюда получаем, что $В \le \frac{2Р}{3}$.

Теперь подставим полученные неравенства для $В$ и $Г$ в формулу Эйлера:
$2 = В - Р + Г \le \frac{2Р}{3} - Р + \frac{Р}{3}$
$2 \le (\frac{2}{3} - 1 + \frac{1}{3})Р$
$2 \le (\frac{3}{3} - 1)Р$
$2 \le 0 \cdot Р$
$2 \le 0$

Мы пришли к противоречию ($2 \le 0$ — неверное утверждение). Это означает, что наше исходное предположение о том, что у многогранника нет граней с 3, 4 или 5 сторонами, было ложным.

Ответ: Следовательно, в любом выпуклом многограннике обязательно найдется треугольная, или четырехугольная, или пятиугольная грань. Что и требовалось доказать.