Номер 4.11, страница 33 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

4.11. В каждой вершине выпуклого многогранника сходится квадрат и четыре треугольника (рис. 4.7). Найдите число вершин ($B$), ребер ($P$) и граней ($Г$) этого многогранника.

Рис. 4.7

Решение

Пусть В – число вершин, Р – число ребер, Г – число граней многогранника. Обозначим число треугольных граней как $Г_3$, а число квадратных граней как $Г_4$. Тогда общее число граней $Г = Г_3 + Г_4$.

Для нахождения В, Р и Г мы установим связи между этими величинами, исходя из условия задачи, а затем воспользуемся формулой Эйлера для выпуклых многогранников.

1. Связь между вершинами и ребрами.
По условию, в каждой вершине сходится один квадрат и четыре треугольника. Это означает, что в каждой вершине сходится 5 ребер. Сумма степеней всех вершин многогранника равна $5 \cdot В$. Согласно лемме о рукопожатиях, эта сумма также равна удвоенному числу ребер ($2Р$). Таким образом, получаем первое соотношение:
$5В = 2Р$
Отсюда $Р = \frac{5В}{2}$.

2. Связь между вершинами и гранями.
Рассмотрим количество вершин, принадлежащих граням разного типа.
Каждая вершина многогранника принадлежит ровно одной квадратной грани. Если мы просуммируем все вершины по всем квадратным граням (у каждой из $Г_4$ граней по 4 вершины), мы посчитаем каждую вершину многогранника один раз. Следовательно:
$4Г_4 = В$, откуда $Г_4 = \frac{В}{4}$.
Аналогично, каждая вершина принадлежит четырем треугольным граням. Если мы просуммируем все вершины по всем треугольным граням (у каждой из $Г_3$ граней по 3 вершины), мы посчитаем каждую вершину многогранника четыре раза. Следовательно:
$3Г_3 = 4В$, откуда $Г_3 = \frac{4В}{3}$.

3. Применение формулы Эйлера.
Формула Эйлера для выпуклых многогранников имеет вид: $В - Р + Г = 2$.
Выразим общее число граней Г через В:
$Г = Г_3 + Г_4 = \frac{4В}{3} + \frac{В}{4} = \frac{16В + 3В}{12} = \frac{19В}{12}$.
Теперь подставим выражения для Р и Г в формулу Эйлера:
$В - \frac{5В}{2} + \frac{19В}{12} = 2$
Приведем уравнение к общему знаменателю 12:
$\frac{12В}{12} - \frac{30В}{12} + \frac{19В}{12} = 2$
$\frac{12В - 30В + 19В}{12} = 2$
$\frac{В}{12} = 2$
Отсюда находим число вершин:
$В = 24$.

4. Нахождение числа ребер и граней.
Зная число вершин, находим число ребер:
$Р = \frac{5В}{2} = \frac{5 \cdot 24}{2} = 60$.
И число граней:
$Г = \frac{19В}{12} = \frac{19 \cdot 24}{12} = 38$.
Проверим полученные значения. Число треугольных граней $Г_3 = \frac{4 \cdot 24}{3} = 32$. Число квадратных граней $Г_4 = \frac{24}{4} = 6$. Общее число граней $Г = 32 + 6 = 38$. Все значения целые, что подтверждает корректность расчетов.
Проверка по формуле Эйлера: $24 - 60 + 38 = 2$. Равенство выполняется.

Ответ: число вершин В = 24, число ребер Р = 60, число граней Г = 38.