Номер 4.8, страница 33 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

4.8. Выполняется ли соотношение Эйлера для невыпуклой призмы?

Решение

Да, соотношение Эйлера выполняется для невыпуклой призмы.

Соотношение (или формула) Эйлера для многогранников гласит, что для любого простого многогранника (то есть многогранника, поверхность которого гомеоморфна сфере, без "сквозных" отверстий) число вершин (В), минус число рёбер (Р), плюс число граней (Г) равно 2:

$В - Р + Г = 2$

Призма является простым многогранником независимо от того, является ли многоугольник в её основании выпуклым или невыпуклым. Невыпуклость основания не создаёт "отверстий" в теле призмы, поэтому её поверхность по-прежнему гомеоморфна сфере, и формула Эйлера для неё применима.

Чтобы доказать это в общем виде, рассмотрим произвольную n-угольную призму, основанием которой является простой n-угольник (не обязательно выпуклый).

Подсчёт вершин (В): У призмы есть два основания, каждое из которых является n-угольником. Каждый n-угольник имеет $n$ вершин. Следовательно, общее число вершин призмы равно $В = 2 \times n = 2n$.

Подсчёт граней (Г): У призмы есть два основания (верхнее и нижнее) и $n$ боковых граней, соединяющих соответствующие стороны оснований. Таким образом, общее число граней равно $Г = n + 2$.

Подсчёт рёбер (Р): У каждого из двух оснований есть $n$ рёбер. Кроме того, есть $n$ боковых рёбер, соединяющих соответствующие вершины оснований. Общее число рёбер равно $Р = n + n + n = 3n$.

Теперь подставим полученные значения в формулу Эйлера:

$В - Р + Г = (2n) - (3n) + (n + 2)$

$В - Р + Г = 2n - 3n + n + 2 = (2n + n - 3n) + 2 = 0 + 2 = 2$

Как видно из вычислений, результат всегда равен 2 и не зависит от числа сторон многоугольника в основании ($n$) или от его выпуклости. Главное, чтобы многоугольник в основании был простым (несамопересекающимся).

В качестве примера рассмотрим призму, в основании которой лежит невыпуклый шестиугольник (например, в форме буквы "Г"). В этом случае $n=6$.

Вершины: $В = 2 \times 6 = 12$.

Рёбра: $Р = 3 \times 6 = 18$.

Грани: $Г = 6 + 2 = 8$.

Проверим соотношение: $12 - 18 + 8 = -6 + 8 = 2$. Соотношение выполняется.

Ответ: Да, соотношение Эйлера $В - Р + Г = 2$ выполняется для любой невыпуклой призмы, так как она является простым многогранником, для которого эта формула справедлива.