Номер 4.7, страница 33 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

4.7. Проверьте, выполняется ли равенство Эйлера для многогранников, изображенных на рисунке 4.5.

а)

б)

Рис. 4.5

Равенство Эйлера для многогранников, топологически эквивалентных сфере, связывает число их вершин (В), рёбер (Р) и граней (Г) следующей формулой:

$В - Р + Г = 2$

Проверим, выполняется ли это равенство для многогранников, изображенных на рисунке.

а)

Решение

Для многогранника на рисунке а) подсчитаем количество вершин, рёбер и граней.

Вершины (В): Многогранник имеет 4 вершины на нижнем основании и 6 вершин, образующих верхний L-образный контур. Таким образом, общее число вершин составляет $В = 4 + 6 = 10$.

Рёбра (Р): Чтобы найти число рёбер, можно подсчитать сумму степеней всех вершин (степень вершины — это количество рёбер, которые в ней сходятся). Сумма степеней всех вершин равна удвоенному числу рёбер. В данном многограннике каждая из 10 вершин имеет степень 3 (в каждой сходится по 3 ребра). Следовательно, сумма степеней равна $10 \times 3 = 30$. Число рёбер равно $Р = 30 / 2 = 15$.

Грани (Г): Подсчитаем грани многогранника. Он имеет 1 нижнюю грань, 2 верхние грани (прямоугольники), 1 переднюю L-образную грань, 1 заднюю L-образную грань, 1 левую боковую и 1 правую боковую грань. Итого: $Г = 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 = 7$.

Подставим найденные значения в формулу Эйлера:

$В - Р + Г = 10 - 15 + 7 = 2$

Равенство Эйлера выполняется.

Ответ: для многогранника а) равенство Эйлера выполняется ($10 - 15 + 7 = 2$).

б)

Решение

Для многогранника на рисунке б) также подсчитаем количество вершин, рёбер и граней.

Вершины (В): У многогранника 4 вершины на нижнем основании. Верхняя поверхность с двумя пазами имеет 12 вершин (по 4 на каждой из трех "ступенек"). Общее число вершин: $В = 4 + 12 = 16$.

Рёбра (Р): Подсчитаем рёбра через степени вершин. У многогранника 4 нижние угловые вершины со степенью 3, и 4 верхние крайние угловые вершины также со степенью 3. Остальные 8 вершин, расположенные по краям двух пазов, имеют степень 4. Сумма степеней всех вершин равна $(4 \times 3) + (4 \times 3) + (8 \times 4) = 12 + 12 + 32 = 56$. Таким образом, число рёбер $Р = 56 / 2 = 28$.

Грани (Г): Подсчитаем грани. Имеется 1 нижняя, 1 передняя, 1 задняя, 1 левая и 1 правая боковая грань. Верхняя поверхность разделена пазами на 3 прямоугольные грани. Каждый из двух пазов состоит из 3 граней (две боковые стенки и дно). Итого: $Г = 1(низ) + 1(перед) + 1(зад) + 1(лево) + 1(право) + 3(верх) + 2 \times 3(пазы) = 5 + 3 + 6 = 14$.

Подставим найденные значения в формулу Эйлера:

$В - Р + Г = 16 - 28 + 14 = 2$

Равенство Эйлера выполняется.

Ответ: для многогранника б) равенство Эйлера выполняется ($16 - 28 + 14 = 2$).