Задания, страница 35 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Используя свойства выпуклых многогранных углов, самостоятельно докажите, что в вершинах выпуклого многогранника не могут сходиться правильные многоугольники с числом сторон больше пяти.

Решение

Для доказательства воспользуемся свойством выпуклого многогранного угла, которое гласит, что сумма всех его плоских углов меньше $360^\circ$.

Пусть в некоторой вершине выпуклого многогранника сходятся $k$ граней, каждая из которых является правильным $n$-угольником. Для образования многогранного угла необходимо, чтобы в одной вершине сходилось как минимум три грани, следовательно, $k \ge 3$.

Плоские углы многогранного угла в данном случае — это внутренние углы правильных $n$-угольников. Величина внутреннего угла $\alpha_n$ правильного $n$-угольника определяется формулой:

$\alpha_n = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$

Сумма плоских углов $S$ в рассматриваемой вершине равна произведению числа сходящихся граней $k$ на величину угла $\alpha_n$:

$S = k \cdot \alpha_n$

Согласно свойству выпуклого многогранного угла, должно выполняться неравенство:

$k \cdot \alpha_n < 360^\circ$

Предположим, что в вершинах многогранника могут сходиться правильные многоугольники с числом сторон $n > 5$, то есть $n \ge 6$.

Рассмотрим наименьшее из этих значений, $n=6$ (правильный шестиугольник). Внутренний угол правильного шестиугольника равен:

$\alpha_6 = \frac{(6-2) \cdot 180^\circ}{6} = \frac{4 \cdot 180^\circ}{6} = 120^\circ$

Так как $k \ge 3$, то наименьшая возможная сумма плоских углов в вершине будет при $k=3$:

$S_{min} = 3 \cdot \alpha_6 = 3 \cdot 120^\circ = 360^\circ$

Полученная сумма $S_{min} = 360^\circ$ уже не удовлетворяет строгому неравенству $S < 360^\circ$. Это означает, что три правильных шестиугольника не могут образовать вершину выпуклого многогранника (они просто покроют плоскость без зазора), а четыре или более — тем более не могут.

Теперь рассмотрим случай, когда число сторон $n$ строго больше 6, то есть $n > 6$.

Величина внутреннего угла $\alpha_n = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n} = 180^\circ \left(1 - \frac{2}{n}\right)$ возрастает с увеличением $n$. Следовательно, для любого $n > 6$ будет выполняться неравенство $\alpha_n > \alpha_6 = 120^\circ$.

Тогда для $n>6$ и $k \ge 3$ сумма плоских углов в вершине будет:

$S = k \cdot \alpha_n \ge 3 \cdot \alpha_n > 3 \cdot 120^\circ = 360^\circ$

Этот результат ($S > 360^\circ$) также противоречит свойству выпуклого многогранного угла.

Таким образом, наше первоначальное предположение о том, что в вершинах выпуклого многогранника могут сходиться правильные многоугольники с числом сторон $n \ge 6$, неверно.

Ответ: Доказано, что в вершинах выпуклого многогранника не могут сходиться правильные многоугольники с числом сторон больше пяти. Это связано с тем, что внутренний угол правильного шестиугольника равен $120^\circ$, а у правильных многоугольников с большим числом сторон он еще больше. Сумма трех таких углов (минимально необходимое количество для образования вершины) будет равна или превысит $360^\circ$, что нарушает фундаментальное свойство выпуклых многогранных углов.