Номер 5.2, страница 36 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

5.2. Треугольную бипирамиду сложили из двух правильных тетраэдров, совместив их грани (частица "би" означает удвоение). Будет ли получившийся многогранник правильным? Почему?

Нет, получившийся многогранник (треугольная бипирамида) не будет правильным.

Правильный многогранник (или Платоново тело) — это выпуклый многогранник, который должен удовлетворять двум основным условиям:1. Все его грани являются конгруэнтными (равными) правильными многоугольниками.2. В каждой его вершине сходится одинаковое число граней.

Проанализируем треугольную бипирамиду, полученную соединением двух правильных тетраэдров по одной грани.

Условие 1 (Грани):Правильный тетраэдр состоит из четырех граней, каждая из которых — равносторонний треугольник. Когда два тетраэдра соединяются по одной грани, эта общая грань становится внутренней. Внешняя поверхность получившегося многогранника состоит из оставшихся $3 + 3 = 6$ граней. Все эти 6 граней — конгруэнтные равносторонние треугольники. Таким образом, первое условие выполняется.

Условие 2 (Вершины):Рассмотрим вершины получившейся бипирамиды. У этого многогранника 5 вершин, которые можно разделить на два типа:- Две "апикальные" вершины (или "полюсы") — это вершины исходных тетраэдров, которые не принадлежат общей грани. В каждой из этих двух вершин сходятся по 3 грани.- Три "экваториальные" вершины — это вершины, образующие общую грань, по которой были соединены тетраэдры. В каждой из этих трех вершин сходятся по 4 грани (две от "верхнего" тетраэдра и две от "нижнего").

Поскольку в разных вершинах многогранника сходится разное количество граней (в одних 3, в других 4), второе условие для правильного многогранника не выполняется.

Ответ: Получившийся многогранник не будет правильным, так как не для всех его вершин выполняется условие равенства числа сходящихся в них граней. В двух вершинах сходятся по 3 грани, а в трёх других — по 4.