Страница 36 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Вопросы

1. Какой выпуклый многогранник называется правильным?

2. Какой многогранник называется:

а) правильным тетраэдром;

б) октаэдром;

в) икосаэдром;

г) гексаэдром;

д) додекаэдром?

3. Кто занимался изучением правильных многогранников?

Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани являются равными (конгруэнтными) правильными многоугольниками и в каждой его вершине сходится одинаковое число рёбер (и, соответственно, граней). Существует всего пять видов правильных выпуклых многогранников.

Ответ: Правильный многогранник — это выпуклый многогранник, у которого все грани — равные правильные многоугольники, и в каждой вершине сходится одно и то же число граней.

2. а) правильным тетраэдром называется правильный многогранник, гранями которого являются четыре равносторонних треугольника. В каждой вершине тетраэдра сходятся три грани. Он имеет 4 грани, 4 вершины и 6 рёбер.

Ответ: Правильный тетраэдр — это многогранник, составленный из четырёх равных равносторонних треугольников.

б) октаэдром (имеется в виду правильный октаэдр) называется правильный многогранник, гранями которого являются восемь равносторонних треугольников. В каждой вершине октаэдра сходятся четыре грани. Он имеет 8 граней, 6 вершин и 12 рёбер.

Ответ: Октаэдр — это многогранник, составленный из восьми равных равносторонних треугольников.

в) икосаэдром (имеется в виду правильный икосаэдр) называется правильный многогранник, гранями которого являются двадцать равносторонних треугольников. В каждой вершине икосаэдра сходятся пять граней. Он имеет 20 граней, 12 вершин и 30 рёбер.

Ответ: Икосаэдр — это многогранник, составленный из двадцати равных равносторонних треугольников.

г) гексаэдром (или кубом) называется правильный многогранник, гранями которого являются шесть квадратов. В каждой вершине гексаэдра сходятся три грани. Он имеет 6 граней, 8 вершин и 12 рёбер.

Ответ: Гексаэдр (куб) — это многогранник, составленный из шести равных квадратов.

д) додекаэдром (имеется в виду правильный додекаэдр) называется правильный многогранник, гранями которого являются двенадцать правильных пятиугольников. В каждой вершине додекаэдра сходятся три грани. Он имеет 12 граней, 20 вершин и 30 рёбер.

Ответ: Додекаэдр — это многогранник, составленный из двенадцати равных правильных пятиугольников.

3. Изучение правильных многогранников имеет долгую историю, уходящую корнями в античность. Эти геометрические тела были предметом восхищения и исследования для многих математиков и философов.

Ключевые фигуры в изучении правильных многогранников:

• Древние греки: Правильные многогранники часто называют «Платоновыми телами».

• Пифагор (VI в. до н.э.) и его последователи, пифагорейцы, как полагают, открыли и изучали тетраэдр, куб и додекаэдр.

• Теэтет Афинский (ок. 417 – 369 гг. до н.э.), друг и ученик Платона, дал математическое описание всех пяти правильных многогранников и, как считается, первым доказал, что их существует ровно пять.

• Платон (ок. 428 – 348 гг. до н.э.) в своём знаменитом диалоге «Тимей» связал четыре правильных многогранника с четырьмя стихиями (огонь — тетраэдр, земля — куб, воздух — октаэдр, вода — икосаэдр), а пятый, додекаэдр, по его мнению, символизировал Вселенную. Благодаря его трудам эти фигуры получили широкую известность.

• Евклид (ок. 300 г. до н.э.) в своей работе «Начала» (книга XIII) дал полное и систематическое математическое описание правильных многогранников, включая методы их построения.

• В эпоху Возрождения Иоганн Кеплер (1571–1630) использовал Платоновы тела для построения своей первой модели Солнечной системы.

Ответ: Изучением правильных многогранников занимались многие учёные, но основополагающий вклад внесли древнегреческие математики и философы: Пифагор, Теэтет Афинский, Платон и Евклид.

5.1. Сколько вершин, ребер и граней имеет: а) правильный тетраэдр;

б) куб; в) октаэдр; г) икосаэдр; д) додекаэдр?

5.2. Треугольные бипирамиды относятся к правильным тетраэдрам

а) правильный тетраэдр

Правильный тетраэдр — это многогранник, ограниченный четырьмя равносторонними треугольниками. Он является одним из пяти платоновых тел. У него 4 вершины, 6 рёбер и 4 грани. Для всех выпуклых многогранников справедливо соотношение Эйлера: $В - Р + Г = 2$, где В – число вершин, Р – число рёбер, а Г – число граней. Для тетраэдра проверка: $4 - 6 + 4 = 2$.
Ответ: 4 вершины, 6 рёбер, 4 грани.

б) куб

Куб, или правильный гексаэдр, — это многогранник, все шесть граней которого являются квадратами. Это одно из платоновых тел. Он имеет 8 вершин, 12 рёбер и 6 граней. Проверка по формуле Эйлера: $8 - 12 + 6 = 2$.
Ответ: 8 вершин, 12 рёбер, 6 граней.

в) октаэдр

Правильный октаэдр — это многогранник, состоящий из восьми граней, каждая из которых является равносторонним треугольником. Это одно из платоновых тел. Он имеет 6 вершин, 12 рёбер и 8 граней. Проверка по формуле Эйлера: $6 - 12 + 8 = 2$.
Ответ: 6 вершин, 12 рёбер, 8 граней.

г) икосаэдр

Правильный икосаэдр — это многогранник, состоящий из двадцати граней, каждая из которых является равносторонним треугольником. Это одно из платоновых тел. Он имеет 12 вершин, 30 рёбер и 20 граней. Проверка по формуле Эйлера: $12 - 30 + 20 = 2$.
Ответ: 12 вершин, 30 рёбер, 20 граней.

д) додекаэдр

Правильный додекаэдр — это многогранник, состоящий из двенадцати граней, каждая из которых является правильным пятиугольником. Это одно из платоновых тел. Он имеет 20 вершин, 30 рёбер и 12 граней. Проверка по формуле Эйлера: $20 - 30 + 12 = 2$.
Ответ: 20 вершин, 30 рёбер, 12 граней.

5.2. Треугольную бипирамиду сложили из двух правильных тетраэдров, совместив их грани (частица "би" означает удвоение). Будет ли получившийся многогранник правильным? Почему?

Нет, получившийся многогранник (треугольная бипирамида) не будет правильным.

Правильный многогранник (или Платоново тело) — это выпуклый многогранник, который должен удовлетворять двум основным условиям:1. Все его грани являются конгруэнтными (равными) правильными многоугольниками.2. В каждой его вершине сходится одинаковое число граней.

Проанализируем треугольную бипирамиду, полученную соединением двух правильных тетраэдров по одной грани.

Условие 1 (Грани):Правильный тетраэдр состоит из четырех граней, каждая из которых — равносторонний треугольник. Когда два тетраэдра соединяются по одной грани, эта общая грань становится внутренней. Внешняя поверхность получившегося многогранника состоит из оставшихся $3 + 3 = 6$ граней. Все эти 6 граней — конгруэнтные равносторонние треугольники. Таким образом, первое условие выполняется.

Условие 2 (Вершины):Рассмотрим вершины получившейся бипирамиды. У этого многогранника 5 вершин, которые можно разделить на два типа:- Две "апикальные" вершины (или "полюсы") — это вершины исходных тетраэдров, которые не принадлежат общей грани. В каждой из этих двух вершин сходятся по 3 грани.- Три "экваториальные" вершины — это вершины, образующие общую грань, по которой были соединены тетраэдры. В каждой из этих трех вершин сходятся по 4 грани (две от "верхнего" тетраэдра и две от "нижнего").

Поскольку в разных вершинах многогранника сходится разное количество граней (в одних 3, в других 4), второе условие для правильного многогранника не выполняется.

Ответ: Получившийся многогранник не будет правильным, так как не для всех его вершин выполняется условие равенства числа сходящихся в них граней. В двух вершинах сходятся по 3 грани, а в трёх других — по 4.

5.3. Четырехугольную бипирамиду сложили, совместив основания двух четырехугольных пирамид, боковыми гранями которых являются правильные треугольники. Будет ли получившийся многогранник правильным?

Решение

Правильный многогранник (или платоновское тело) — это выпуклый многогранник, который удовлетворяет двум условиям:
1. Все его грани являются равными (конгруэнтными) правильными многоугольниками.
2. В каждой его вершине сходится одинаковое число граней.

Рассмотрим многогранник, полученный в задаче. Он образован двумя четырёхугольными пирамидами, соединёнными по общему основанию.

1. Анализ граней.
По условию, боковые грани каждой пирамиды — это правильные (равносторонние) треугольники. Пусть сторона такого треугольника равна $a$. Это значит, что боковые рёбра каждой пирамиды равны $a$, и стороны её основания также равны $a$.
Таким образом, основание каждой пирамиды — это четырёхугольник, у которого все стороны равны $a$, то есть ромб. Чтобы все боковые грани были одинаковыми равносторонними треугольниками, основание должно быть квадратом. Если бы основание было ромбом, но не квадратом, то его диагонали были бы не равны. Тогда для сохранения равной длины боковых рёбер пришлось бы сместить вершину пирамиды, и она не была бы правильной, либо боковые грани не были бы одинаковыми. В случае, когда все рёбра (и основания, и боковые) равны, основание обязано быть квадратом.
Следовательно, полученный многогранник (бипирамида) имеет $4 + 4 = 8$ граней, и все они являются равными друг другу правильными треугольниками.
Первое условие для правильного многогранника выполнено.

2. Анализ вершин.
У полученного многогранника есть вершины двух типов:
- Вершины, которые были вершинами исходных пирамид (назовём их полюсами). Таких вершин две. В каждом полюсе сходятся 4 грани — боковые грани одной из пирамид.
- Вершины, принадлежащие общему квадратному основанию. Таких вершин четыре. В каждой из этих вершин сходятся 4 грани: две грани от верхней пирамиды и две от нижней.
Таким образом, в каждой из $2 + 4 = 6$ вершин многогранника сходится ровно 4 грани.
Второе условие для правильного многогранника также выполнено.

Поскольку оба условия выполняются, полученный многогранник является правильным. Такой многогранник называется правильным октаэдром.

Ответ: Да, полученный многогранник будет правильным.