Страница 42 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

6.4. Постройте сечение куба $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ плоскостью, проходящей через вершины A, C и середину E ребра $C_1 D_1$ (рис. 6.11).

Рис. 6.11

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Точка $E$ - середина ребра $C_1D_1$.

Секущая плоскость $\alpha$ проходит через точки $A, C, E$.

Найти:

Построить сечение куба плоскостью $\alpha$.

Решение:

Построение сечения выполняется пошагово на основе аксиом и теорем стереометрии.

1. Точки $A$ и $C$ принадлежат секущей плоскости и одновременно лежат в плоскости нижнего основания куба ($ABCD$). Следовательно, прямая $AC$ является линией пересечения (следом) секущей плоскости с плоскостью нижнего основания. Строим отрезок $AC$, который является частью сечения.

2. Плоскости верхнего основания ($A_1B_1C_1D_1$) и нижнего основания ($ABCD$) куба параллельны. По свойству параллельных плоскостей, секущая плоскость пересекает их по параллельным прямым. Это означает, что линия пересечения секущей плоскости с плоскостью верхнего основания должна быть параллельна прямой $AC$.

3. Точка $E$ принадлежит секущей плоскости и лежит в плоскости верхнего основания. Согласно пункту 2, проведем в плоскости $A_1B_1C_1D_1$ через точку $E$ прямую, параллельную диагонали $A_1C_1$ (и, соответственно, параллельную $AC$). Эта прямая пересечет ребро $A_1D_1$ в некоторой точке. Обозначим эту точку как $F$. Отрезок $EF$ — это след секущей плоскости на верхней грани куба.

4. Рассмотрим плоскость верхней грани $A_1B_1C_1D_1$. В треугольнике $\triangle A_1C_1D_1$ отрезок $EF$ параллелен стороне $A_1C_1$. Так как точка $E$ является серединой стороны $C_1D_1$, то по теореме Фалеса (или по свойствам средней линии треугольника) точка $F$ будет являться серединой стороны $A_1D_1$.

5. Теперь у нас есть четыре точки, принадлежащие сечению: $A$, $C$, $E$, $F$. Соединим последовательно те точки, которые лежат в одной грани куба.Точки $C$ и $E$ лежат в плоскости задней грани $CDD_1C_1$, поэтому строим отрезок $CE$.Точки $F$ и $A$ лежат в плоскости левой боковой грани $ADD_1A_1$, поэтому строим отрезок $FA$.

6. В результате построений мы получили замкнутый многоугольник — четырехугольник $ACEF$. Его вершины лежат на ребрах куба, а стороны являются линиями пересечения секущей плоскости с гранями куба. Следовательно, четырехугольник $ACEF$ является искомым сечением.

По построению прямая $EF$ параллельна прямой $AC$, значит, четырехугольник $ACEF$ является трапецией. Можно также показать, что длины боковых сторон $AF$ и $CE$ равны, поэтому данное сечение является равнобедренной трапецией.

Ответ: Искомое сечение — это четырехугольник (равнобедренная трапеция) $ACEF$, где точка $F$ является серединой ребра $A_1D_1$.

6.5. Постройте сечение правильной тре-

угольной призмы $ABC A_1 B_1 C_1$ плоскостью,

проходящей через середины ребер $AA_1$,

$BB_1$, $B_1 C_1$ (рис. 6.12).

Рис. 6.12

Дано:
Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.
Точка $D$ — середина ребра $AA_1$.
Точка $E$ — середина ребра $BB_1$.
Точка $F$ — середина ребра $B_1C_1$.
Секущая плоскость $\alpha$ проходит через точки $D$, $E$, $F$.

Найти:
Построить сечение призмы плоскостью $\alpha$.

Решение:

Построение сечения заключается в нахождении линий пересечения секущей плоскости с гранями призмы.

1. Точки $D$ и $E$ принадлежат секущей плоскости и одновременно лежат в плоскости боковой грани $ABB_1A_1$. Следовательно, отрезок $DE$ является линией пересечения секущей плоскости с гранью $ABB_1A_1$. Соединяем точки $D$ и $E$.

2. Точки $E$ и $F$ принадлежат секущей плоскости и одновременно лежат в плоскости боковой грани $BCC_1B_1$. Следовательно, отрезок $EF$ является линией пересечения секущей плоскости с гранью $BCC_1B_1$. Соединяем точки $E$ и $F$.

3. Призма $ABCA_1B_1C_1$ является правильной, поэтому ее боковые ребра параллельны и равны, а боковые грани являются прямоугольниками. Так как $D$ и $E$ — середины боковых ребер $AA_1$ и $BB_1$ соответственно, то отрезок $DE$ является средней линией прямоугольника $ABB_1A_1$ и, следовательно, $DE \parallel A_1B_1$.

4. Секущая плоскость $\alpha$ содержит прямую $DE$, которая параллельна прямой $A_1B_1$, лежащей в плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1$. По теореме о пересечении плоскости с двумя параллельными прямыми, линия пересечения секущей плоскости $\alpha$ с плоскостью $A_1B_1C_1$ должна быть параллельна прямой $A_1B_1$ (и прямой $DE$).

5. Эта линия пересечения проходит через точку $F$, так как точка $F$ принадлежит и секущей плоскости $\alpha$, и плоскости грани $A_1B_1C_1$. Проведем в плоскости $A_1B_1C_1$ через точку $F$ прямую, параллельную $A_1B_1$. Пусть эта прямая пересекает ребро $A_1C_1$ в точке $G$.

6. Так как в треугольнике $A_1B_1C_1$ отрезок $FG$ проходит через середину стороны $B_1C_1$ (точку $F$) и параллелен стороне $A_1B_1$, то $FG$ является средней линией этого треугольника. Следовательно, точка $G$ — середина стороны $A_1C_1$. Отрезок $FG$ — это линия пересечения секущей плоскости с гранью $A_1B_1C_1$.

7. Точки $D$ и $G$ принадлежат секущей плоскости и лежат в плоскости боковой грани $AA_1C_1C$. Соединяем точки $D$ и $G$. Отрезок $DG$ является линией пересечения секущей плоскости с гранью $AA_1C_1C$.

8. В результате последовательного соединения точек получен четырехугольник $DEFG$, который является искомым сечением.

Ответ: Искомое сечение — это четырехугольник $DEFG$, вершинами которого являются точки $D$ (середина $AA_1$), $E$ (середина $BB_1$), $F$ (середина $B_1C_1$) и $G$ (середина $A_1C_1$).

6.6. Постройте сечение правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ плоскостью, проходящей через вершину $B$ и середины ребер $AA_1$ и $A_1C_1$ (рис. 6.13).

Рис. 6.13

Решение

Пусть в правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ точка $D$ — середина ребра $AA_1$, а точка $E$ — середина ребра $A_1C_1$. Требуется построить сечение призмы плоскостью, проходящей через точки $B, D, E$. Построение выполним пошагово.

1. Построение линий пересечения с гранями, содержащими заданные точки.

Сначала соединим точки, которые лежат в одной грани призмы. Эти отрезки будут сторонами искомого многоугольника сечения.

- Точки $B$ и $D$ лежат в плоскости боковой грани $AA_1B_1B$. Соединяем их отрезком $BD$. Этот отрезок является линией пересечения секущей плоскости с гранью $AA_1B_1B$.

- Точки $D$ и $E$ лежат в плоскости боковой грани $AA_1C_1C$. Соединяем их отрезком $DE$. Этот отрезок является линией пересечения секущей плоскости с гранью $AA_1C_1C$.

2. Нахождение новой вершины сечения методом следов.

Для нахождения остальных сторон сечения необходимо найти точки пересечения секущей плоскости $(BDE)$ с другими рёбрами призмы.

- Прямая $DE$ лежит в секущей плоскости, а также в плоскости грани $AA_1C_1C$. В этой же плоскости лежит и прямая, содержащая ребро $CC_1$. Так как точка $D$ находится на середине ребра $AA_1$, а точка $E$ — на ребре верхнего основания $A_1C_1$, то прямые $DE$ и $CC_1$ не параллельны и пересекаются. Продлим отрезок $DE$ и ребро $CC_1$ до их пересечения в точке $F$.

- Точка $F$ принадлежит секущей плоскости (так как лежит на прямой $DE$) и одновременно плоскости грани $BB_1C_1C$ (так как лежит на прямой $CC_1$).

- Теперь в плоскости грани $BB_1C_1C$ лежат две точки, принадлежащие секущей плоскости: точка $B$ (вершина призмы) и построенная точка $F$. Прямая $BF$ является следом (линией пересечения) секущей плоскости на плоскости грани $BB_1C_1C$.

- Проведём прямую $BF$. Она пересекает ребро $B_1C_1$ в некоторой точке. Обозначим эту точку $K$. Точка $K$ — это новая вершина сечения, так как она принадлежит и секущей плоскости (лежит на прямой $BF$), и ребру призмы $B_1C_1$.

3. Завершение построения сечения.

Мы нашли все четыре вершины сечения: $B, D, E, K$. Соединим их последовательно, чтобы получить замкнутый многоугольник.

- $BD$ — сторона сечения в грани $AA_1B_1B$.

- $DE$ — сторона сечения в грани $AA_1C_1C$.

- $EK$ — сторона сечения в грани верхнего основания $A_1B_1C_1$ (так как обе точки $E$ и $K$ лежат на рёбрах этой грани).

- $KB$ — сторона сечения в грани $BB_1C_1C$ (так как обе точки $K$ и $B$ лежат в плоскости этой грани).

В результате построен четырёхугольник $BDEK$, который и является искомым сечением.

Ответ: Искомое сечение — это четырёхугольник $BDEK$, где $D$ — середина ребра $AA_1$, $E$ — середина ребра $A_1C_1$, а $K$ — точка пересечения ребра $B_1C_1$ с прямой, проходящей через точку $B$ и точку $F$ (точка пересечения прямых $DE$ и $CC_1$).

6.7. Постройте сечение куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через середины ребер $AB$ и $BC$ и вершину $D_1$ и (рис. 6.14).

Рис. 6.14

Решение

Для построения сечения куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через середины ребер $AB$ и $BC$ (обозначим их $E$ и $F$ соответственно) и вершину $D_1$, выполним следующие шаги:

1. Соединение точек в одной грани. Точки $E$ и $F$ лежат в плоскости нижнего основания куба $(ABC)$. Следовательно, отрезок $EF$ принадлежит секущей плоскости и является одной из сторон искомого сечения. Этот отрезок является следом секущей плоскости на грани $ABCD$.

2. Построение следа секущей плоскости на плоскости основания. Для того чтобы найти точки пересечения секущей плоскости с другими ребрами куба, воспользуемся методом следов. Продлим прямую $EF$, лежащую в плоскости $(ABC)$, до пересечения с прямыми, содержащими другие ребра этой грани.
а) Продлим прямую $AD$. Прямые $EF$ и $AD$ не параллельны, поэтому они пересекаются. Обозначим точку их пересечения $M$. Точка $M$ принадлежит как секущей плоскости (так как лежит на прямой $EF$), так и плоскости боковой грани $(ADD_1)$.
б) Аналогично продлим прямую $CD$. Прямые $EF$ и $CD$ также пересекаются. Обозначим точку их пересечения $N$. Точка $N$ принадлежит секущей плоскости и плоскости задней грани $(CDD_1)$.
Прямая $MN$ является следом секущей плоскости на плоскости нижнего основания $(ABC)$.

3. Построение сечения на грани $ADD_1A_1$. Теперь у нас есть две точки, принадлежащие одновременно секущей плоскости и плоскости грани $ADD_1A_1$: это вершина $D_1$ (по условию) и точка $M$ (по построению). Проведем через них прямую $MD_1$. Эта прямая пересечет ребро $AA_1$ в некоторой точке. Обозначим эту точку $K$. Отрезок $KD_1$ является стороной сечения, лежащей на грани $ADD_1A_1$.

4. Построение сечения на грани $CDD_1C_1$. Аналогично, в плоскости грани $CDD_1C_1$ лежат две точки секущей плоскости: вершина $D_1$ и точка $N$. Проведем через них прямую $ND_1$. Эта прямая пересечет ребро $CC_1$ в некоторой точке. Обозначим эту точку $L$. Отрезок $LD_1$ является стороной сечения, лежащей на грани $CDD_1C_1$.

5. Завершение построения. Теперь у нас есть все вершины многоугольника сечения, лежащие на ребрах куба: $E, F, L, D_1, K$. Соединим последовательно точки, лежащие в одной грани:
- Точки $K$ и $E$ лежат на грани $ABB_1A_1$, соединяем их отрезком $KE$.
- Точки $F$ и $L$ лежат на грани $BCC_1B_1$, соединяем их отрезком $FL$.
Отрезки $EF, FL, LD_1, D_1K, KE$ образуют замкнутый многоугольник.

Таким образом, искомое сечение куба — это пятиугольник $EF_L_D_1K$.

Ответ: Искомым сечением является пятиугольник $EF_L_D_1K$, вершины которого лежат на ребрах куба: точка $E$ — середина ребра $AB$, точка $F$ — середина ребра $BC$, точка $K$ лежит на ребре $AA_1$, точка $L$ лежит на ребре $CC_1$, и $D_1$ — вершина куба.

6.8. Постройте сечение правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$ плоскостью, проходящей через середины ребер $AB$, $AD$ и $SC$ (рис. 6.15).

Рис. 6.15

Дано:

$SABCD$ — правильная четырехугольная пирамида.
Точка $E$ — середина ребра $AB$.
Точка $F$ — середина ребра $AD$.
Точка $G$ — середина ребра $SC$.
Секущая плоскость $\alpha$ проходит через точки $E, F, G$.

Найти:

Построить сечение пирамиды $SABCD$ плоскостью $\alpha$.

Решение:

Построение искомого сечения будем выполнять пошагово, находя точки пересечения секущей плоскости $\alpha$ с ребрами пирамиды.

1. Точки $E$ и $F$ лежат на ребрах основания пирамиды, следовательно, они принадлежат как секущей плоскости $\alpha$, так и плоскости основания $(ABC)$. Прямая $EF$ является линией пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью основания. Отрезок $EF$ — сторона искомого сечения. Поскольку $E$ и $F$ — середины сторон $AB$ и $AD$ в треугольнике $ABD$, то $EF$ является его средней линией, а значит $EF \parallel BD$.

2. Для построения точек пересечения секущей плоскости с боковыми гранями используем метод следов. Прямая $EF$, лежащая в плоскости $\alpha$, является следом этой плоскости на плоскости основания $(ABC)$.

3. Найдем точку пересечения секущей плоскости с ребром $SD$. Для этого рассмотрим грань $(SDC)$. Точка $G$ принадлежит этой грани. Найдем еще одну точку, принадлежащую одновременно и секущей плоскости $\alpha$, и плоскости грани $(SDC)$. Такая точка лежит на пересечении их следов на плоскости основания, то есть на пересечении прямых $EF$ и $CD$. Продлим отрезок $EF$ и ребро $CD$ до их пересечения в точке $P$. Точка $P$ принадлежит секущей плоскости (т.к. $P \in EF$) и плоскости грани $(SDC)$ (т.к. $P \in CD$).

4. Теперь у нас есть две точки $G$ и $P$, лежащие и в секущей плоскости, и в плоскости грани $(SDC)$. Следовательно, прямая $GP$ является линией пересечения этих плоскостей. Эта прямая пересекает ребро $SD$ в некоторой точке $L$. Точка $L$ является вершиной искомого сечения. Отрезок $LG$ — сторона сечения.

5. Аналогично найдем точку пересечения секущей плоскости с ребром $SB$. Рассмотрим грань $(SBC)$. Точка $G$ принадлежит этой грани. Найдем точку пересечения следа $EF$ с прямой $BC$. Продлим отрезок $EF$ и ребро $BC$ до их пересечения в точке $Q$. Точка $Q$ принадлежит секущей плоскости (т.к. $Q \in EF$) и плоскости грани $(SBC)$ (т.к. $Q \in BC$).

6. Прямая $GQ$ является линией пересечения секущей плоскости $\alpha$ с плоскостью грани $(SBC)$. Эта прямая пересекает ребро $SB$ в некоторой точке $K$. Точка $K$ является вершиной искомого сечения. Отрезок $GK$ — сторона сечения.

7. Теперь у нас есть все вершины сечения. Соединим их последовательно:

- $E$ и $F$ лежат в плоскости основания $(ABC)$, соединяем их отрезком $EF$.

- $F$ и $L$ лежат в плоскости грани $(SAD)$, соединяем их отрезком $FL$.

- $L$ и $G$ лежат в плоскости грани $(SDC)$, соединяем их отрезком $LG$.

- $G$ и $K$ лежат в плоскости грани $(SBC)$, соединяем их отрезком $GK$.

- $K$ и $E$ лежат в плоскости грани $(SAB)$, соединяем их отрезком $KE$.

В результате построен пятиугольник $EFLGK$, который и является искомым сечением.

Ответ: Искомым сечением является пятиугольник $EFLGK$, где $K$ — точка на ребре $SB$, а $L$ — точка на ребре $SD$, построенные указанным методом.