Номер 6.6, страница 42 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

6.6. Постройте сечение правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ плоскостью, проходящей через вершину $B$ и середины ребер $AA_1$ и $A_1C_1$ (рис. 6.13).

Рис. 6.13

Решение

Пусть в правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ точка $D$ — середина ребра $AA_1$, а точка $E$ — середина ребра $A_1C_1$. Требуется построить сечение призмы плоскостью, проходящей через точки $B, D, E$. Построение выполним пошагово.

1. Построение линий пересечения с гранями, содержащими заданные точки.

Сначала соединим точки, которые лежат в одной грани призмы. Эти отрезки будут сторонами искомого многоугольника сечения.

- Точки $B$ и $D$ лежат в плоскости боковой грани $AA_1B_1B$. Соединяем их отрезком $BD$. Этот отрезок является линией пересечения секущей плоскости с гранью $AA_1B_1B$.

- Точки $D$ и $E$ лежат в плоскости боковой грани $AA_1C_1C$. Соединяем их отрезком $DE$. Этот отрезок является линией пересечения секущей плоскости с гранью $AA_1C_1C$.

2. Нахождение новой вершины сечения методом следов.

Для нахождения остальных сторон сечения необходимо найти точки пересечения секущей плоскости $(BDE)$ с другими рёбрами призмы.

- Прямая $DE$ лежит в секущей плоскости, а также в плоскости грани $AA_1C_1C$. В этой же плоскости лежит и прямая, содержащая ребро $CC_1$. Так как точка $D$ находится на середине ребра $AA_1$, а точка $E$ — на ребре верхнего основания $A_1C_1$, то прямые $DE$ и $CC_1$ не параллельны и пересекаются. Продлим отрезок $DE$ и ребро $CC_1$ до их пересечения в точке $F$.

- Точка $F$ принадлежит секущей плоскости (так как лежит на прямой $DE$) и одновременно плоскости грани $BB_1C_1C$ (так как лежит на прямой $CC_1$).

- Теперь в плоскости грани $BB_1C_1C$ лежат две точки, принадлежащие секущей плоскости: точка $B$ (вершина призмы) и построенная точка $F$. Прямая $BF$ является следом (линией пересечения) секущей плоскости на плоскости грани $BB_1C_1C$.

- Проведём прямую $BF$. Она пересекает ребро $B_1C_1$ в некоторой точке. Обозначим эту точку $K$. Точка $K$ — это новая вершина сечения, так как она принадлежит и секущей плоскости (лежит на прямой $BF$), и ребру призмы $B_1C_1$.

3. Завершение построения сечения.

Мы нашли все четыре вершины сечения: $B, D, E, K$. Соединим их последовательно, чтобы получить замкнутый многоугольник.

- $BD$ — сторона сечения в грани $AA_1B_1B$.

- $DE$ — сторона сечения в грани $AA_1C_1C$.

- $EK$ — сторона сечения в грани верхнего основания $A_1B_1C_1$ (так как обе точки $E$ и $K$ лежат на рёбрах этой грани).

- $KB$ — сторона сечения в грани $BB_1C_1C$ (так как обе точки $K$ и $B$ лежат в плоскости этой грани).

В результате построен четырёхугольник $BDEK$, который и является искомым сечением.

Ответ: Искомое сечение — это четырёхугольник $BDEK$, где $D$ — середина ребра $AA_1$, $E$ — середина ребра $A_1C_1$, а $K$ — точка пересечения ребра $B_1C_1$ с прямой, проходящей через точку $B$ и точку $F$ (точка пересечения прямых $DE$ и $CC_1$).