Номер 6.13, страница 44 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

6.13. Постройте сечение куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через середины ребер $AB$, $BC$ и параллельной прямой $AD_1$ (рис. 6.20).

Рис. 6.20

Для построения сечения куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через середины ребер $AB$, $BC$ и параллельной прямой $AD_1$, выполним следующие шаги:

1. Построение первого отрезка сечения

Обозначим середину ребра $AB$ точкой $E$, а середину ребра $BC$ – точкой $F$. Эти точки даны в условии задачи. Поскольку обе точки, $E$ и $F$, принадлежат секущей плоскости (назовем ее $\alpha$) и одновременно лежат в плоскости нижнего основания куба $ABCD$, то отрезок $EF$ является линией пересечения плоскости $\alpha$ с гранью $ABCD$. Соединим точки $E$ и $F$.

В треугольнике $ABC$ отрезок $EF$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$, следовательно, $EF$ является средней линией. По свойству средней линии, $EF$ параллелен диагонали $AC$ ($EF \parallel AC$).

2. Использование условия параллельности прямой и плоскости

По условию, секущая плоскость $\alpha$ параллельна прямой $AD_1$. Прямая $AD_1$ является диагональю грани $ADD_1A_1$. Рассмотрим грань $BCC_1B_1$, которая параллельна грани $ADD_1A_1$. Диагональ $BC_1$ грани $BCC_1B_1$ параллельна диагонали $AD_1$ грани $ADD_1A_1$ ($AD_1 \parallel BC_1$).

Так как плоскость $\alpha$ параллельна прямой $AD_1$, а $AD_1 \parallel BC_1$, то по свойству транзитивности, плоскость $\alpha$ параллельна и прямой $BC_1$ ($\alpha \parallel BC_1$).

3. Построение второго отрезка сечения

Линия пересечения плоскости $\alpha$ с гранью $BCC_1B_1$ должна быть параллельна прямой $BC_1$. Также эта линия должна проходить через точку $F$, которая принадлежит и плоскости $\alpha$, и грани $BCC_1B_1$.

Проведем в плоскости грани $BCC_1B_1$ через точку $F$ (середину $BC$) прямую, параллельную диагонали $BC_1$. По теореме Фалеса (или по свойству средней линии трапеции, если рассмотреть сечение плоскостью `BCC₁`), эта прямая пересечет ребро $CC_1$ в его середине. Обозначим эту точку $H$. Таким образом, $H$ – середина ребра $CC_1$. Отрезок $FH$ – это линия пересечения плоскости $\alpha$ с гранью $BCC_1B_1$.

4. Построение следующих вершин сечения

Теперь воспользуемся свойством параллельности граней куба: линии пересечения секущей плоскости с параллельными гранями должны быть параллельны.

• Грань $CDD_1C_1$ параллельна грани $ABB_1A_1$.

• Грань $ADD_1A_1$ параллельна грани $BCC_1B_1$. Линия пересечения с $BCC_1B_1$ – это отрезок $FH$. Значит, линия пересечения с гранью $ADD_1A_1$ должна быть ему параллельна. Чтобы ее построить, нам нужна хотя бы одна точка сечения на этой грани. Найдем ее.

Рассмотрим диагональную плоскость $ACC_1A_1$. Мы установили, что $EF \parallel AC$. Так как $EF$ лежит в плоскости $\alpha$, то линия пересечения $\alpha$ с плоскостью $ACC_1A_1$ должна быть параллельна $AC$. Мы уже имеем точку $H$ (середина $CC_1$), которая принадлежит обеим плоскостям. Проведем в плоскости $ACC_1A_1$ через точку $H$ прямую, параллельную $AC$. Эта прямая является средней линией трапеции $ACC_1A_1$ и пересечет ребро $AA_1$ в его середине. Обозначим эту точку $K$. Таким образом, точка $K$ (середина $AA_1$) – еще одна вершина нашего сечения.

5. Завершение построения сечения

Теперь у нас есть четыре вершины искомого многоугольника: $E, F, H, K$. Соединим их и найдем остальные, используя свойство параллельности граней:

• В грани $ABB_1A_1$ соединяем точки $K$ (середина $AA_1$) и $E$ (середина $AB$). Получаем отрезок $KE$.

• В грани $ADD_1A_1$ через точку $K$ проводим прямую, параллельную отрезку $FH$. Эта прямая пересечет ребро $A_1D_1$ в его середине. Обозначим эту точку $L$. Получаем отрезок $KL$.

• В верхней грани $A_1B_1C_1D_1$ через точку $L$ проводим прямую, параллельную отрезку $EF$ (а значит, и $A_1C_1$). Эта прямая пересечет ребро $C_1D_1$ в его середине. Обозначим эту точку $M$. Получаем отрезок $LM$.

• В задней грани $CDD_1C_1$ соединяем точки $M$ (середина $C_1D_1$) и $H$ (середина $CC_1$). Получаем отрезок $MH$. Этот отрезок будет параллелен отрезку $KE$ на передней грани, что соответствует свойству сечения.

Последовательно соединив точки $E \rightarrow F \rightarrow H \rightarrow M \rightarrow L \rightarrow K \rightarrow E$, мы получаем замкнутый многоугольник.

Ответ: Искомым сечением является шестиугольник $EFHMLK$, вершины которого являются серединами ребер $AB, BC, CC_1, C_1D_1, D_1A_1, A_1A$ соответственно.