Номер 6.19, страница 45 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

6.19. Постройте сечение правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$, все ребра которой равны $1$, плоскостью, проходящей через середину $E$ ребра $AB$ и перпендикулярной прямой $SD$ (рис. 6.26).

Рис. 6.26

Дано:
Пирамида SABCD — правильная четырехугольная.
Все ребра равны 1: $AB = BC = CD = DA = SA = SB = SC = SD = 1$.
E — середина ребра AB.
Секущая плоскость $\alpha$ проходит через точку E.
Плоскость $\alpha$ перпендикулярна прямой SD ($\alpha \perp SD$).

Найти:
Построить сечение пирамиды плоскостью $\alpha$.

Решение:
1. Определим свойства данной пирамиды. Так как все ребра пирамиды равны 1, то в основании лежит квадрат ABCD со стороной 1, а боковые грани являются равносторонними треугольниками со стороной 1.

2. Найдем прямые, перпендикулярные ребру SD.
а) Рассмотрим диагональную плоскость SBD. Треугольник SBD имеет стороны $SB = 1$, $SD = 1$. Диагональ основания $BD$ найдем из прямоугольного треугольника ABD: $BD^2 = AB^2 + AD^2 = 1^2 + 1^2 = 2$, откуда $BD = \sqrt{2}$. В треугольнике SBD проверим теорему Пифагора: $SB^2 + SD^2 = 1^2 + 1^2 = 2$. Так как $BD^2 = 2$, то $SB^2 + SD^2 = BD^2$. Это означает, что треугольник SBD является прямоугольным с прямым углом при вершине S. Следовательно, $SB \perp SD$.
б) Рассмотрим диагональ основания AC. Прямая SO (где O — центр основания) является высотой пирамиды, поэтому $SO \perp AC$. Также диагонали квадрата перпендикулярны: $BD \perp AC$. Поскольку прямая AC перпендикулярна двум пересекающимся прямым SO и BD в плоскости SBD, она перпендикулярна всей плоскости SBD. Так как ребро SD лежит в плоскости SBD, то $AC \perp SD$.

3. Так как секущая плоскость $\alpha$ по условию перпендикулярна прямой SD, а мы нашли две непараллельные прямые SB и AC, которые также перпендикулярны SD, то плоскость $\alpha$ должна быть параллельна этим прямым: $\alpha \parallel SB$ и $\alpha \parallel AC$.

4. Теперь построим сечение, зная, что оно проходит через точку E (середину AB) и параллельно SB и AC.
а) Точка на ребре BC. В плоскости основания ABCD проведем через точку E прямую, параллельную AC. Эта прямая пересечет ребро BC. Так как E — середина AB, то по теореме Фалеса эта прямая пересечет BC в его середине. Обозначим эту точку F. Отрезок EF — одна из сторон сечения.
б) Точка на ребре SA. В плоскости грани SAB проведем через точку E прямую, параллельную SB. Эта прямая пересечет ребро SA. Так как E — середина AB, то по теореме Фалеса эта прямая пересечет SA в его середине. Обозначим эту точку K. Отрезок EK — сторона сечения.
в) Точка на ребре SC. Теперь из точки F (середины BC) в плоскости грани SBC проведем прямую, параллельную SB. Она пересечет ребро SC в его середине. Обозначим эту точку G. Отрезок FG — сторона сечения.
г) Точка на ребре SD. Мы нашли четыре вершины сечения: E, F, G, K. Сечение является многоугольником, стороны которого лежат на гранях пирамиды. Чтобы замкнуть сечение, нужно соединить точки G и K. Этот отрезок не лежит на одной грани, он проходит через грань SCD и SAD. Значит, на ребре SD должна быть еще одна вершина. Обозначим ее H. Для нахождения положения точки H воспользуемся тем, что плоскость сечения перпендикулярна SD. Рассмотрим треугольник SAD. Он равносторонний, поэтому $\angle ASD = 60^\circ$. Мы уже знаем, что точка K (середина SA) принадлежит сечению. Линия KH лежит в плоскости сечения. Опустим перпендикуляр из точки K на прямую SD. Точка, куда он упадет, и будет точкой H, так как SD перпендикулярна всей плоскости, а значит, и любой линии в ней. Рассмотрим треугольник SKD (он не является гранью пирамиды, но существует в пространстве). В нем $SK = \frac{1}{2}SA = \frac{1}{2}$, $SD = 1$, и угол между этими сторонами $\angle KSD = \angle ASD = 60^\circ$. В треугольнике SKD опустим высоту из K на сторону SD в точку H. В образовавшемся прямоугольном треугольнике SKH: $SH = SK \cdot \cos(\angle KSD) = \frac{1}{2} \cdot \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$. Таким образом, точка H лежит на ребре SD и делит его в отношении $SH:HD = 1:3$.

5. Соединив последовательно найденные точки, получаем искомое сечение — пятиугольник EFGHK.
Вершины сечения:

• E — середина ребра AB.
• F — середина ребра BC.
• G — середина ребра SC.
• H — точка на ребре SD, такая что $SH = \frac{1}{4}SD$.
• K — середина ребра SA.

Ответ: Искомое сечение представляет собой пятиугольник EFGHK, вершины которого находятся на ребрах пирамиды следующим образом: E — середина AB, F — середина BC, G — середина SC, H — точка на SD, для которой $SH:HD=1:3$, и K — середина SA.