Номер 6.20, страница 45 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

6.20. Повторите определения центральной симметрии и осевой симметрии на плоскости.

Центральная симметрия

Центральная симметрия (или симметрия относительно точки) на плоскости — это такое преобразование плоскости, при котором каждая точка $A$ переходит в такую точку $A'$, что заданная точка $O$ (называемая центром симметрии) является серединой отрезка $AA'$.

Это означает, что точки $A$, $O$ и $A'$ лежат на одной прямой, причем расстояния $AO$ и $OA'$ равны. Векторно это условие можно записать как $\vec{OA'} = -\vec{OA}$. Точка $O$ при этом преобразовании отображается сама на себя.

Фигура называется центрально-симметричной, если существует такая точка $O$, что симметрия относительно этой точки переводит фигуру в себя. Эта точка $O$ называется центром симметрии фигуры. Примерами центрально-симметричных фигур являются окружность, параллелограмм, отрезок.

Ответ: Центральная симметрия относительно точки $O$ – это преобразование плоскости, при котором каждая точка $A$ отображается на точку $A'$ так, что точка $O$ является серединой отрезка $AA'$.

Осевая симметрия

Осевая симметрия (или симметрия относительно прямой) на плоскости — это такое преобразование плоскости, при котором каждой точке $A$ ставится в соответствие такая точка $A'$, что заданная прямая $l$ (называемая осью симметрии) является серединным перпендикуляром к отрезку $AA'$.

Это означает, что одновременно выполняются два условия:
1. Отрезок, соединяющий точку и ее образ, перпендикулярен оси симметрии: $AA' \perp l$.
2. Середина этого отрезка лежит на оси симметрии.

Если точка принадлежит оси симметрии, то она отображается сама на себя.

Фигура называется симметричной относительно прямой $l$, если при симметрии относительно этой прямой фигура переходит в себя. Прямая $l$ в этом случае называется осью симметрии фигуры. Примерами фигур, обладающих осевой симметрией, являются равнобедренный треугольник, прямоугольник, ромб, окружность.

Ответ: Осевая симметрия относительно прямой $l$ – это преобразование плоскости, при котором каждая точка $A$ отображается на точку $A'$ так, что прямая $l$ проходит через середину отрезка $AA'$ и перпендикулярна ему.