Номер 6.17, страница 44 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

6.17. Постройте сечение правильной шестиугольной пирамиды $SABCDEF$ плоскостью, проходящей через вершины $A$, $C$ и середину $G$ ребра $SE$ (рис. 6.24).

Рис. 6.24

Решение

Построение искомого сечения правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF плоскостью, проходящей через точки A, C и G (середина ребра SE), выполняется методом следов. Обозначим секущую плоскость как α.

1. Соединим точки A и C. Так как обе точки лежат в плоскости основания пирамиды, отрезок AC является стороной искомого сечения и одновременно следом секущей плоскости α на плоскости основания (ABC).

2. Чтобы найти линию пересечения секущей плоскости α с плоскостью боковой грани (SDE), необходимо найти вторую общую точку для этих плоскостей (первая точка — G, так как G лежит на ребре SE, которое принадлежит грани (SDE)). Для этого в плоскости основания продлим прямую AC и прямую, содержащую ребро основания DE. В правильном шестиугольнике прямая, содержащая диагональ AC, и прямая, содержащая сторону DE, не параллельны, следовательно, они пересекаются. Обозначим точку их пересечения буквой P. Точка P принадлежит прямой AC, а значит и секущей плоскости α. Точка P также принадлежит прямой DE, а значит и плоскости грани (SDE).

3. Мы нашли две точки (G и P), принадлежащие одновременно и секущей плоскости α, и плоскости грани (SDE). Следовательно, прямая GP является линией пересечения этих плоскостей.

4. Проведем прямую GP. Точка пересечения этой прямой с ребром SD будет являться вершиной искомого сечения. Обозначим эту точку буквой H.

5. Теперь мы можем построить стороны сечения, лежащие на боковых гранях. Соединяем точку C с точкой H (обе лежат в плоскости грани (SCD)). Соединяем точку H с точкой G (обе лежат в плоскости грани (SDE)). Отрезки CH и HG — стороны сечения.

6. Далее найдем точку пересечения секущей плоскости с ребром SF. Для этого повторим аналогичную процедуру для грани (SEF). Точка G является общей точкой для плоскости α и плоскости (SEF). Найдем вторую общую точку, продлив в плоскости основания прямую AC и прямую, содержащую ребро FE. Точку их пересечения обозначим Q.

7. Прямая GQ является линией пересечения секущей плоскости α и плоскости грани (SEF). Точка пересечения прямой GQ с ребром SF будет еще одной вершиной сечения. Обозначим ее буквой K.

8. Соединим точку G с точкой K (обе лежат в грани (SEF)) и точку K с точкой A (обе лежат в грани (SFA)). Отрезки GK и KA — стороны сечения.

9. Соединив последовательно точки A, C, H, G, K и снова A, мы получим замкнутый многоугольник, который и является искомым сечением.

Ответ: Искомое сечение — пятиугольник ACHGK.