Номер 6.15, страница 44 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

6.15. Постройте сечение правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$ плоскостью, проходящей через вершину $A$, середину $E$ ребра $SC$ и параллельной прямой $BD$ (рис. 6.22).

Рис. 6.22

Решение

Обозначим искомую секущую плоскость как $ \alpha $. Построение сечения будем выполнять пошагово, используя метод следов.

1. По условию, точки $ A $ и $ E $ (середина ребра $ SC $) принадлежат плоскости сечения $ \alpha $. Следовательно, отрезок $ AE $ является частью сечения. Этот отрезок лежит в плоскости диагонального сечения $ (SAC) $.

2. Проведем диагонали основания $ AC $ и $ BD $. Пусть $ O $ — точка их пересечения. Поскольку пирамида $ SABCD $ правильная, $ O $ является центром квадрата $ ABCD $, а $ SO $ — высотой пирамиды.

3. Рассмотрим плоскость $ (SAC) $. В этой плоскости лежат отрезки $ AE $ и $ SO $. Так как $ E $ — середина $ SC $, а $ O $ — середина $ AC $, отрезки $ AE $ и $ SO $ не параллельны и пересекаются внутри треугольника $ SAC $. Обозначим их точку пересечения буквой $ K $. То есть, $ K = AE \cap SO $.

4. Точка $ K $ принадлежит прямой $ AE $, поэтому она лежит в секущей плоскости $ \alpha $. Также точка $ K $ принадлежит прямой $ SO $, а значит, лежит и в плоскости $ (SBD) $. Таким образом, плоскость сечения $ \alpha $ и плоскость $ (SBD) $ имеют общую точку $ K $.

5. По условию, секущая плоскость $ \alpha $ параллельна прямой $ BD $. Прямая $ BD $ целиком лежит в плоскости $ (SBD) $. По свойству параллельных прямой и плоскости, линия пересечения плоскости $ \alpha $ с плоскостью $ (SBD) $ должна быть параллельна прямой $ BD $.

6. Линия пересечения плоскостей $ \alpha $ и $ (SBD) $ проходит через их общую точку $ K $. Проведем в плоскости $ (SBD) $ через точку $ K $ прямую, параллельную диагонали $ BD $. Эта прямая пересечет боковые ребра пирамиды $ SB $ и $ SD $ в точках $ M $ и $ N $ соответственно. Отрезок $ MN $ принадлежит секущей плоскости $ \alpha $ и является одной из его сторон.

7. Соединим последовательно полученные точки $ A, M, E, N $. Полученный четырехугольник $ AMEN $ является искомым сечением, так как его стороны лежат на гранях пирамиды:

• $ AM $ лежит в плоскости грани $ (SAB) $.

• $ ME $ лежит в плоскости грани $ (SBC) $.

• $ EN $ лежит в плоскости грани $ (SCD) $.

• $ NA $ лежит в плоскости грани $ (SAD) $.

Таким образом, построение завершено.

Ответ:

Искомое сечение — это четырехугольник $ AMEN $. Для его построения необходимо выполнить следующие действия:
1. Найти точку $ K $ как пересечение отрезков $ AE $ и $ SO $ в плоскости диагонального сечения $ (SAC) $.
2. В плоскости диагонального сечения $ (SBD) $ через точку $ K $ провести прямую, параллельную $ BD $.
3. Точки пересечения этой прямой с ребрами $ SB $ и $ SD $ обозначить как $ M $ и $ N $ соответственно.
4. Соединить точки $ A, M, E, N $ для получения искомого сечения.