Вопрос?, страница 46 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Как Вы думаете, может ли у фигуры быть несколько центров симметрии?

Да, у фигуры может быть несколько центров симметрии, но это возможно только в том случае, если фигура является неограниченной.

Рассмотрим сначала ограниченную фигуру (то есть фигуру, которую можно полностью поместить внутрь некоторой окружности). Докажем от противного, что у ограниченной фигуры не может быть более одного центра симметрии. Предположим, что у ограниченной фигуры $F$ есть два различных центра симметрии — точки $O_1$ и $O_2$. Возьмём любую точку $A$, принадлежащую фигуре $F$. Поскольку $O_1$ — центр симметрии, точка $A_1$, симметричная точке $A$ относительно $O_1$, также принадлежит $F$. Аналогично, поскольку $O_2$ — тоже центр симметрии, точка $A_2$, симметричная точке $A_1$ относительно $O_2$, также должна принадлежать фигуре $F$.

Композиция двух центральных симметрий (сначала относительно $O_1$, а затем $O_2$) является параллельным переносом на вектор $\vec{v} = 2\vec{O_1O_2}$. Это значит, что точка $A_2$ получается из точки $A$ сдвигом на этот вектор. Поскольку точки $O_1$ и $O_2$ различны, вектор $\vec{v}$ является ненулевым. Итак, мы установили, что если точка $A$ принадлежит фигуре $F$, то и точка $A + \vec{v}$ также принадлежит $F$. Применив это рассуждение многократно, мы получим, что все точки вида $A + k\vec{v}$, где $k$ — любое целое число, должны принадлежать фигуре $F$.

Эта последовательность точек $..., A - \vec{v}, A, A + \vec{v}, A + 2\vec{v}, ...$ уходит на бесконечность в обоих направлениях вдоль прямой, параллельной вектору $\vec{v}$. Следовательно, фигура $F$ является неограниченной. Это противоречит нашему начальному предположению, что фигура $F$ ограничена. Таким образом, ограниченная фигура может иметь не более одного центра симметрии. Например, у отрезка, окружности или прямоугольника есть ровно один центр симметрии.

Для неограниченных фигур наличие нескольких центров симметрии возможно. Примерами могут служить: прямая (любая её точка является центром симметрии); полоса между двумя параллельными прямыми (любая точка на её осевой линии является центром симметрии); график функции $y = \sin(x)$ (центрами симметрии являются точки пересечения с осью абсцисс, $(\pi k, 0)$, где $k$ — целое число); бесконечная периодическая решётка.

Ответ: Да, фигура может иметь несколько центров симметрии. Это возможно для неограниченных фигур (например, прямая или полоса). Ограниченная фигура может иметь не более одного центра симметрии.