Номер 7.3, страница 49 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

7.3. Имеет ли правильный тетраэдр (рис. 7.15):

а) центр симметрии;

б) оси симметрии;

в) плоскости симметрии?

Рис. 7.15

а) центр симметрии;

Центром симметрии геометрической фигуры называется такая точка, относительно которой любая точка фигуры симметрична другой точке этой же фигуры. Предположим, что у правильного тетраэдра существует центр симметрии $O$. Тогда для любой вершины, например, для вершины $A$, должна существовать симметричная ей точка $A'$, которая также принадлежит тетраэдру. При центральной симметрии точка $A'$ должна быть другой вершиной, так как вершины являются крайними точками фигуры. Однако у тетраэдра всего 4 вершины, и они не могут быть сгруппированы в центрально-симметричные пары. Если взять в качестве возможного центра симметрии центр тяжести тетраэдра (точку пересечения его высот и медиан), то точка, симметричная любой вершине относительно центра тяжести, окажется за пределами тетраэдра. Таким образом, правильный тетраэдр не имеет центра симметрии.

Ответ: нет, правильный тетраэдр не имеет центра симметрии.

б) оси симметрии;

Осью симметрии называется прямая, при повороте вокруг которой на некоторый угол, не равный $360^\circ$, фигура совмещается сама с собой. Правильный тетраэдр имеет оси симметрии. Их можно разделить на два типа:

1. Оси, проходящие через вершину и центр противоположной грани. Так как противоположная грань является равносторонним треугольником, поворот вокруг такой оси на углы $120^\circ$ (или $2\pi/3$ радиан) и $240^\circ$ (или $4\pi/3$ радиан) отображает тетраэдр на себя. У тетраэдра 4 вершины, следовательно, существует 4 таких оси симметрии (оси 3-го порядка).

2. Оси, проходящие через середины противоположных (скрещивающихся) ребер. Поворот вокруг такой оси на $180^\circ$ (или $\pi$ радиан) также совмещает тетраэдр с самим собой. Например, ось, проходящая через середины ребер $AB$ и $CD$, при повороте на $180^\circ$ меняет местами вершины $A$ и $B$, а также вершины $C$ и $D$. У тетраэдра 6 ребер, которые образуют 3 пары противоположных ребер. Соответственно, существует 3 таких оси симметрии (оси 2-го порядка).

Итого, у правильного тетраэдра $4 + 3 = 7$ осей симметрии.

Ответ: да, правильный тетраэдр имеет 7 осей симметрии.

в) плоскости симметрии?

Плоскостью симметрии называется плоскость, которая делит фигуру на две зеркально равные части. Правильный тетраэдр имеет плоскости симметрии. Каждая такая плоскость проходит через одно ребро и середину противоположного ему скрещивающегося ребра. Например, плоскость, проходящая через ребро $AD$ и середину ребра $BC$. При отражении относительно этой плоскости вершины $A$ и $D$ остаются на месте, а вершины $B$ и $C$ меняются местами, при этом тетраэдр совмещается сам с собой. Поскольку у тетраэдра 6 ребер, то и плоскостей симметрии у него тоже 6.

Ответ: да, правильный тетраэдр имеет 6 плоскостей симметрии.