Номер 7.6, страница 50 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

7.6. Имеет ли правильная четырехугольная пирамида (рис. 7.18):

а) центр симметрии;

б) оси симметрии;

в) плоскости симметрии?

Рис. 7.18

а) центр симметрии

Центр симметрии — это точка, относительно которой фигура отображается сама на себя. Для любой точки фигуры $M$ должна существовать симметричная ей точка $M'$, также принадлежащая фигуре. В правильной четырехугольной пирамиде такой точки нет. Если предположить, что центр симметрии существует, то для вершины пирамиды $S$ должна существовать симметричная ей точка $S'$, также принадлежащая пирамиде. Эта точка $S'$ должна находиться по другую сторону от предполагаемого центра симметрии на том же расстоянии. Однако в пирамиде нет такой точки, которая могла бы быть симметричной вершине. Вершина $S$ является единственной точкой на данной высоте, в то время как ее симметричное отражение находилось бы под основанием, то есть вне фигуры.

Ответ: Нет, правильная четырехугольная пирамида не имеет центра симметрии.

б) оси симметрии

Ось симметрии — это прямая, при повороте вокруг которой на некоторый угол (не кратный $360^\circ$) фигура совмещается сама с собой. У правильной четырехугольной пирамиды есть одна ось симметрии. Это прямая, проходящая через вершину пирамиды и центр ее основания (который является центром квадрата). При повороте вокруг этой оси на $90^\circ$, $180^\circ$ или $270^\circ$ пирамида переходит сама в себя. Эта ось называется осью симметрии четвертого порядка. Других осей симметрии у данной фигуры нет.

Ответ: Да, имеет одну ось симметрии.

в) плоскости симметрии

Плоскость симметрии — это плоскость, которая делит фигуру на две зеркально равные части. Правильная четырехугольная пирамида имеет четыре плоскости симметрии:

1. Две диагональные плоскости. Каждая такая плоскость проходит через диагональ основания и вершину пирамиды. Например, плоскость $(SAC)$ и плоскость $(SBD)$. Плоскость $(SAC)$ является плоскостью симметрии, так как она отражает ребро $SB$ на $SD$, а ребро $AB$ на $AD$.

2. Две плоскости, проходящие через вершину пирамиды и середины противоположных сторон основания. Эти плоскости проходят через апофемы противолежащих боковых граней. Например, если $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $CD$ соответственно, то плоскость $(SMN)$ является плоскостью симметрии. Она отражает вершину $A$ в $B$, а $D$ в $C$. Аналогично для плоскости, проходящей через вершину $S$ и середины сторон $BC$ и $AD$.

Ответ: Да, имеет четыре плоскости симметрии.