Номер 7.8, страница 51 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

7.8. На листе бумаги в клетку изобразите пирамиду, центрально-симметричную пирамиде $SABCD$ относительно точки $O$, изображенной на рисунке 7.20.

Рис. 7.20

Дано:

Пирамида SABCD и точка O, заданные на листе в клетку. Для решения введем декартову систему координат. Пусть начало координат (0, 0) находится в левом нижнем углу сетки, а сторона одной клетки равна 1. Тогда координаты вершин пирамиды и центра симметрии будут следующими:

• Вершина A: (1, 1)
• Вершина B: (5, 1)
• Вершина C: (6, 3)
• Вершина D: (2, 3)
• Вершина S: (3, 5)
• Центр симметрии O: (4, 2)

Найти:

Изобразить пирамиду, центрально-симметричную пирамиде SABCD относительно точки O.

Решение:

Центральная симметрия относительно точки O преобразует каждую точку P фигуры в точку P' так, что точка O является серединой отрезка PP'. Если точка P имеет координаты $(x, y)$, а центр симметрии O имеет координаты $(x_0, y_0)$, то координаты симметричной точки P'$(x', y')$ вычисляются по формулам:

$x' = 2x_0 - x$

$y' = 2y_0 - y$

Найдем координаты вершин новой пирамиды S'A'B'C'D', применив эти формулы для каждой вершины исходной пирамиды.

1. Для вершины A(1, 1):

$x_{A'} = 2 \cdot 4 - 1 = 7$

$y_{A'} = 2 \cdot 2 - 1 = 3$

Координаты точки A': (7, 3).

2. Для вершины B(5, 1):

$x_{B'} = 2 \cdot 4 - 5 = 3$

$y_{B'} = 2 \cdot 2 - 1 = 3$

Координаты точки B': (3, 3).

3. Для вершины C(6, 3):

$x_{C'} = 2 \cdot 4 - 6 = 2$

$y_{C'} = 2 \cdot 2 - 3 = 1$

Координаты точки C': (2, 1).

4. Для вершины D(2, 3):

$x_{D'} = 2 \cdot 4 - 2 = 6$

$y_{D'} = 2 \cdot 2 - 3 = 1$

Координаты точки D': (6, 1).

5. Для вершины S(3, 5):

$x_{S'} = 2 \cdot 4 - 3 = 5$

$y_{S'} = 2 \cdot 2 - 5 = -1$

Координаты точки S': (5, -1).

Теперь мы имеем координаты всех вершин симметричной пирамиды S'A'B'C'D'. Для ее построения необходимо отметить на сетке точки A'(7, 3), B'(3, 3), C'(2, 1), D'(6, 1), S'(5, -1) и соединить их соответствующим образом.

При центральной симметрии видимые ребра исходной фигуры переходят в невидимые, а невидимые — в видимые (при сохранении точки обзора). В исходной пирамиде SABCD видимыми являются ребра SA, SB, SC, AB и BC (сплошные линии). Невидимыми являются ребра SD, AD и DC (пунктирные линии).

Следовательно, в симметричной пирамиде S'A'B'C'D':

• Ребра S'A', S'B', S'C', A'B' и B'C' будут невидимыми (изображаются пунктиром).
• Ребра S'D', A'D' и D'C' будут видимыми (изображаются сплошной линией).

Ответ:

Для построения пирамиды, центрально-симметричной данной, необходимо на листе в клетку отметить новые вершины, координаты которых в введенной системе координат равны: $A'(7, 3)$, $B'(3, 3)$, $C'(2, 1)$, $D'(6, 1)$, и вершина пирамиды $S'(5, -1)$. Затем следует соединить эти точки. Ребра $S'D'$, $A'D'$ и $D'C'$ изображаются сплошными линиями как видимые. Ребра $S'A'$, $S'B'$, $S'C'$, $A'B'$ и $B'C'$ изображаются пунктирными линиями как невидимые.