Номер 7.15, страница 51 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

7.15. Сколько осей симметрии у правильной:

а) четырехугольной пирамиды (рис. 7.18);

б) шестиугольной пирамиды (рис. 7.19)?

Рис. 7.18

Рис. 7.19

Решение

Осью симметрии (или осью вращения) геометрической фигуры называется прямая, при повороте вокруг которой на угол, меньший $360^\circ$, фигура совмещается сама с собой. Для правильной n-угольной пирамиды такая ось может быть только одна.

а) у правильной четырехугольной пирамиды

Основанием правильной четырехугольной пирамиды является квадрат, а ее вершина проецируется в центр этого квадрата. Единственной осью симметрии такой пирамиды является прямая, проходящая через ее вершину и центр основания (квадрата).

При повороте пирамиды вокруг этой оси на углы $90^\circ$, $180^\circ$ и $270^\circ$ она будет совмещаться сама с собой. Это происходит потому, что основание (квадрат) при таких поворотах совмещается само с собой, а вершина, лежащая на оси вращения, остается неподвижной.

Других осей симметрии у правильной четырехугольной пирамиды нет. Например, если попытаться повернуть пирамиду вокруг одной из осей симметрии, лежащих в плоскости основания (диагонали или линии, соединяющей середины противоположных сторон), то вершина пирамиды переместится, и фигура не совместится сама с собой.

Ответ: 1 ось симметрии.

б) у правильной шестиугольной пирамиды

Основанием правильной шестиугольной пирамиды является правильный шестиугольник, а ее вершина проецируется в центр этого шестиугольника. По аналогии с четырехугольной пирамидой, единственной осью симметрии является прямая, проходящая через вершину пирамиды и центр ее основания.

Правильный шестиугольник имеет ось вращения 6-го порядка. Это значит, что при повороте вокруг оси, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости, на углы, кратные $60^\circ$ ($60^\circ, 120^\circ, 180^\circ$ и т.д.), он совмещается сам с собой.

При повороте всей пирамиды вокруг этой оси на указанные углы, ее основание и боковая поверхность будут совмещаться сами с собой, а вершина останется на месте. Следовательно, эта прямая является осью симметрии. Других осей симметрии по тем же причинам, что и в пункте а), у пирамиды нет.

Ответ: 1 ось симметрии.