Номер 7.16, страница 51 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

7.16. Сколько плоскостей симметрии у правильной:

а) четырехугольной пирамиды (рис. 7.18);

б) шестиугольной пирамиды (рис. 7.19)?

а)

Решение

Плоскость симметрии — это плоскость, которая делит геометрическое тело на две зеркально равные части. У правильной пирамиды все плоскости симметрии проходят через ее вершину и содержат оси симметрии ее основания.

Основанием правильной четырехугольной пирамиды является квадрат. Квадрат имеет четыре оси симметрии:

1. Две оси, проходящие через противолежащие вершины (диагонали).
2. Две оси, проходящие через середины противолежащих сторон.

Каждая из этих осей симметрии вместе с вершиной пирамиды образует плоскость симметрии. Таким образом, существуют два типа плоскостей симметрии:

• Две плоскости, проходящие через вершину пирамиды и диагонали основания. Каждая такая плоскость содержит два боковых ребра и делит пирамиду на две равные части.
• Две плоскости, проходящие через вершину пирамиды и прямые, соединяющие середины противолежащих сторон основания. Каждая такая плоскость содержит апофемы (высоты боковых граней) двух противолежащих граней и делит пирамиду на две равные части.

Следовательно, общее число плоскостей симметрии у правильной четырехугольной пирамиды равно $2 + 2 = 4$.

Ответ: 4.

б)

Решение

Как и в предыдущем случае, плоскости симметрии правильной шестиугольной пирамиды должны проходить через ее вершину и содержать оси симметрии ее основания.

Основанием пирамиды является правильный шестиугольник. Правильный шестиугольник имеет шесть осей симметрии:

1. Три оси, проходящие через противолежащие вершины (главные диагонали).
2. Три оси, проходящие через середины противолежащих сторон.

Каждая из этих шести осей симметрии вместе с вершиной пирамиды образует плоскость симметрии. Таким образом, существуют два типа плоскостей симметрии:

• Три плоскости, проходящие через вершину пирамиды и диагонали, соединяющие противолежащие вершины основания.
• Три плоскости, проходящие через вершину пирамиды и прямые, соединяющие середины противолежащих сторон основания.

Следовательно, общее число плоскостей симметрии у правильной шестиугольной пирамиды равно $3 + 3 = 6$.

Ответ: 6.