Номер 7.23, страница 52 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

7.23. Приведите примеры пространственных фигур, у которых:
а) есть центр симметрии, но нет плоскости симметрии;
б) есть ось симметрии, но нет плоскости симметрии.

а) есть центр симметрии, но нет плоскости симметрии

Центром симметрии фигуры называется такая точка O, что для любой точки M фигуры, точка M', симметричная M относительно точки O, также принадлежит этой фигуре. Иными словами, фигура переходит сама в себя при центральной симметрии относительно этой точки.

Плоскостью симметрии фигуры называется такая плоскость, что для любой точки M фигуры, точка M', симметричная M относительно этой плоскости, также принадлежит этой фигуре. Фигура переходит сама в себя при зеркальном отражении относительно этой плоскости.

Примером пространственной фигуры, у которой есть центр симметрии, но нет плоскости симметрии, может служить косой параллелепипед в общем виде.

Объяснение:

Любой параллелепипед (в том числе и косой) имеет центр симметрии — это точка пересечения его диагоналей. Эта точка делит каждую диагональ пополам, и центральная симметрия относительно этой точки переводит параллелепипед в себя.

Однако, если параллелепипед является косым в общем виде (то есть его грани — это параллелограммы, не являющиеся прямоугольниками или ромбами, а боковые ребра не перпендикулярны основаниям), то у него не будет ни одной плоскости симметрии. Любая попытка провести плоскость "зеркального отражения" приведет к тому, что одна часть фигуры не совпадет с отражением другой. Например, плоскость, проходящая через середины четырех параллельных ребер, будет плоскостью симметрии только для прямого параллелепипеда. В косом параллелепипеде отражение относительно такой плоскости не совместит фигуру с собой из-за наклона боковых ребер.

Ответ: косой параллелепипед, у которого все грани — несимметричные параллелограммы.

б) есть ось симметрии, но нет плоскости симметрии

Осью симметрии фигуры называется такая прямая, при повороте вокруг которой на некоторый угол (отличный от $360^\circ$) фигура переходит сама в себя.

Примером фигуры, обладающей осью симметрии, но не имеющей плоскости симметрии, является фигура типа пропеллера (винта), у которого лопасти не плоские, а изогнутые или наклоненные в одну и ту же сторону.

Объяснение:

Рассмотрим, например, трехлопастный пропеллер. Ось, проходящая через центр пропеллера перпендикулярно плоскости вращения, является осью симметрии 3-го порядка. Поворот вокруг этой оси на угол $120^\circ$ (или $2\pi/3$ радиан) совмещает каждую лопасть с соседней, и вся фигура переходит сама в себя.

При этом у такого пропеллера нет плоскостей симметрии.

• Плоскость, перпендикулярная оси симметрии (плоскость вращения), не является плоскостью симметрии, так как лопасти наклонены или изогнуты. Отражение в этой плоскости перевело бы лопасти, "закрученные" в одну сторону, в лопасти, "закрученные" в противоположную, а таких в фигуре нет.
• Плоскость, проходящая через ось симметрии, также не является плоскостью симметрии. Отражение в такой плоскости изменило бы направление изгиба/наклона лопасти на противоположное, то есть создало бы "зеркальную" копию лопасти, которая не совпадет с какой-либо другой лопастью исходной фигуры.

Ответ: пропеллер с наклонными или изогнутыми лопастями; винтовая линия (пружина), если рассматривать бесконечную фигуру; любая хиральная молекула, обладающая вращательной симметрией.