Номер 7.24, страница 52 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

7.24. Приведите примеры пространственных фигур, у которых:

а) есть плоскость симметрии, но нет центра симметрии;

б) есть плоскость симметрии, но нет оси симметрии.

а) есть плоскость симметрии, но нет центра симметрии;

Чтобы у пространственной фигуры была плоскость симметрии, необходимо, чтобы эта плоскость делила фигуру на две зеркально-равные части. Центр симметрии — это точка, относительно которой фигура симметрична (то есть для любой точки фигуры симметричная ей относительно центра точка также принадлежит фигуре).

Примерами фигур, у которых есть плоскость симметрии, но отсутствует центр симметрии, являются:
1. Конус (прямой круговой). Любая плоскость, проходящая через его ось, является плоскостью симметрии. Однако у конуса нет центра симметрии, так как, например, для его вершины не существует симметричной точки, принадлежащей конусу.
2. Правильная пирамида. Плоскости, проходящие через вершину и апофемы или диагонали основания, являются плоскостями симметрии. Как и у конуса, у правильной пирамиды нет центра симметрии, так как ее вершина не имеет симметричной ей точки внутри фигуры.
3. Полусфера. Любая плоскость, проходящая через ось симметрии исходной сферы, является плоскостью симметрии для полусферы. Однако центра симметрии у нее нет.
4. Равнобедренный тетраэдр (у которого противоположные рёбра попарно равны) имеет 3 плоскости симметрии, но не имеет центра симметрии.

Ответ: конус, правильная пирамида.

б) есть плоскость симметрии, но нет оси симметрии.

Ось симметрии — это прямая, при повороте вокруг которой на некоторый угол (меньше $360^{\circ}$) фигура совмещается сама с собой. Нужно найти фигуру, которая обладает зеркальной симметрией относительно плоскости, но не обладает вращательной симметрией ни относительно какой прямой.

Примерами таких фигур могут служить:
1. Призма, в основании которой лежит равнобедренный, но не равносторонний треугольник. Плоскость, проходящая через середину основания этого треугольника и противолежащее ребро призмы перпендикулярно основанию, будет являться плоскостью симметрии. Однако у такой призмы нет оси симметрии, так как ее основание (равнобедренный треугольник) не имеет центральной симметрии и не совмещается само с собой при повороте на угол, меньший $360^{\circ}$.
2. Пирамида, в основании которой лежит фигура, имеющая только одну ось симметрии (например, равнобедренная трапеция или фигура "воздушный змей" - дельтоид), и вершина которой проецируется на эту ось симметрии основания. Плоскость, проходящая через вершину и ось симметрии основания, будет плоскостью симметрии всей пирамиды. При этом оси симметрии у такой пирамиды не будет.
3. Фигура человека или животного (идеализированная). Такие фигуры имеют одну плоскость симметрии (сагиттальную), но не имеют осей симметрии.

Ответ: прямая призма, в основании которой лежит равнобедренный (но не равносторонний) треугольник; пирамида, в основании которой лежит равнобедренная трапеция, а вершина проецируется на ось симметрии трапеции.