Номер 2, страница 53 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

2. В каждой вершине выпуклого многогранника сходится три треугольных грани. Сколько он имеет вершин, если у него 4 грани:

A) 4; B) 6; C) 9; D) 12?

Дано:

Выпуклый многогранник.

Количество граней $Г = 4$.

Все грани – треугольные.

В каждой вершине сходится 3 грани.

Найти:

Количество вершин $В$.

Решение:

Для решения этой задачи можно использовать формулу Эйлера для выпуклых многогранников, которая связывает число вершин ($В$), рёбер ($Р$) и граней ($Г$):

$В - Р + Г = 2$

Из условия нам известно количество граней $Г = 4$. Чтобы найти количество вершин $В$, нам необходимо сначала вычислить количество рёбер $Р$.

1. Вычисление количества рёбер ($Р$)

По условию, все 4 грани многогранника являются треугольниками. Каждый треугольник имеет 3 ребра. Если мы просто умножим количество граней на количество рёбер в одной грани, мы получим $4 \times 3 = 12$. Однако, в многограннике каждое ребро является общим для двух смежных граней. Поэтому, чтобы найти истинное число рёбер, необходимо полученный результат разделить на 2:

$Р = \frac{Г \times 3}{2} = \frac{4 \times 3}{2} = \frac{12}{2} = 6$

Таким образом, многогранник имеет 6 рёбер.

2. Вычисление количества вершин ($В$)

Теперь, зная количество рёбер ($Р=6$) и граней ($Г=4$), мы можем найти количество вершин ($В$), подставив эти значения в формулу Эйлера:

$В - Р + Г = 2$

$В - 6 + 4 = 2$

$В - 2 = 2$

$В = 2 + 2 = 4$

Следовательно, у многогранника 4 вершины.

Проверка:

Можно проверить результат, используя другое условие задачи: в каждой вершине сходится 3 грани, а значит, и 3 ребра. Если умножить число вершин ($В$) на 3, мы посчитаем каждое ребро дважды (поскольку у каждого ребра есть две конечные вершины). Таким образом, должно выполняться соотношение: $3 \times В = 2 \times Р$.

Подставим найденные значения $В=4$ и $Р=6$:

$3 \times 4 = 2 \times 6$

$12 = 12$

Равенство выполняется, что подтверждает правильность расчётов. Описанный в задаче многогранник — это тетраэдр, у которого 4 треугольные грани, 4 вершины и 6 рёбер.

Полученное значение 4 соответствует варианту ответа А).

Ответ: 4.