Страница 53 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Из каждой вершины выпуклого многогранника выходит три ребра.

Сколько он имеет ребер, если у него 12 вершин:

A) 12;

B) 16;

C) 18;

D) 24?

Дано:

Количество вершин выпуклого многогранника, $V = 12$.

Количество ребер, выходящих из каждой вершины, $k = 3$.

Найти:

Общее количество ребер многогранника, $E$.

Решение:

Для решения этой задачи воспользуемся свойством многогранников, которое является следствием теоремы о сумме степеней вершин графа. Сумма степеней всех вершин многогранника равна удвоенному числу его ребер. В данном случае из каждой вершины выходит три ребра, что означает, что степень каждой вершины равна 3.

Сначала найдем сумму степеней всех вершин. Для этого умножим количество вершин на количество ребер, выходящих из одной вершины (то есть на степень каждой вершины):

Сумма степеней $= V \cdot k = 12 \cdot 3 = 36$.

При таком подсчете, когда мы суммируем ребра для каждой вершины, каждое ребро учитывается дважды, так как оно соединяет две вершины. Следовательно, чтобы найти истинное количество ребер $E$, необходимо полученную сумму разделить на 2.

Формула для нахождения числа ребер выглядит так:

$E = \frac{V \cdot k}{2}$

Подставим известные значения в формулу:

$E = \frac{12 \cdot 3}{2} = \frac{36}{2} = 18$

Таким образом, многогранник имеет 18 ребер. Это соответствует варианту ответа C).

Ответ: 18.

2. В каждой вершине выпуклого многогранника сходится три треугольных грани. Сколько он имеет вершин, если у него 4 грани:

A) 4; B) 6; C) 9; D) 12?

Дано:

Выпуклый многогранник.

Количество граней $Г = 4$.

Все грани – треугольные.

В каждой вершине сходится 3 грани.

Найти:

Количество вершин $В$.

Решение:

Для решения этой задачи можно использовать формулу Эйлера для выпуклых многогранников, которая связывает число вершин ($В$), рёбер ($Р$) и граней ($Г$):

$В - Р + Г = 2$

Из условия нам известно количество граней $Г = 4$. Чтобы найти количество вершин $В$, нам необходимо сначала вычислить количество рёбер $Р$.

1. Вычисление количества рёбер ($Р$)

По условию, все 4 грани многогранника являются треугольниками. Каждый треугольник имеет 3 ребра. Если мы просто умножим количество граней на количество рёбер в одной грани, мы получим $4 \times 3 = 12$. Однако, в многограннике каждое ребро является общим для двух смежных граней. Поэтому, чтобы найти истинное число рёбер, необходимо полученный результат разделить на 2:

$Р = \frac{Г \times 3}{2} = \frac{4 \times 3}{2} = \frac{12}{2} = 6$

Таким образом, многогранник имеет 6 рёбер.

2. Вычисление количества вершин ($В$)

Теперь, зная количество рёбер ($Р=6$) и граней ($Г=4$), мы можем найти количество вершин ($В$), подставив эти значения в формулу Эйлера:

$В - Р + Г = 2$

$В - 6 + 4 = 2$

$В - 2 = 2$

$В = 2 + 2 = 4$

Следовательно, у многогранника 4 вершины.

Проверка:

Можно проверить результат, используя другое условие задачи: в каждой вершине сходится 3 грани, а значит, и 3 ребра. Если умножить число вершин ($В$) на 3, мы посчитаем каждое ребро дважды (поскольку у каждого ребра есть две конечные вершины). Таким образом, должно выполняться соотношение: $3 \times В = 2 \times Р$.

Подставим найденные значения $В=4$ и $Р=6$:

$3 \times 4 = 2 \times 6$

$12 = 12$

Равенство выполняется, что подтверждает правильность расчётов. Описанный в задаче многогранник — это тетраэдр, у которого 4 треугольные грани, 4 вершины и 6 рёбер.

Полученное значение 4 соответствует варианту ответа А).

Ответ: 4.

3. Гранями выпуклого многогранника являются треугольники. Сколько он имеет граней, если у него 12 ребер:

A) 6; B) 8; C) 9; D) 12?

Дано:

Выпуклый многогранник.

Все грани являются треугольниками.

Количество ребер, Р = 12.

Найти:

Количество граней, Г.

Решение:

Для решения этой задачи воспользуемся соотношением между количеством ребер и граней многогранника, у которого все грани имеют одинаковое число сторон.

Пусть Г — количество граней, а Р — количество ребер.

По условию задачи, каждая грань является треугольником, то есть у каждой грани 3 стороны (ребра).

Если мы умножим количество граней на число сторон в каждой грани, мы получим общее количество сторон всех граней, рассматриваемых по отдельности: $3 \times Г$.

В многограннике каждое ребро является общим для двух смежных граней. Это означает, что при подсчете общего числа сторон всех граней, каждое ребро было посчитано дважды. Следовательно, удвоенное количество ребер многогранника равно произведению числа граней на число сторон одной грани.

Запишем это в виде формулы:

$2 \times Р = 3 \times Г$

Нам дано, что количество ребер $Р = 12$. Подставим это значение в нашу формулу:

$2 \times 12 = 3 \times Г$

$24 = 3Г$

Чтобы найти количество граней Г, разделим обе части уравнения на 3:

$Г = \frac{24}{3}$

$Г = 8$

Таким образом, у данного многогранника 8 граней. Такой многогранник называется октаэдром. Среди предложенных вариантов ответа (А) 6; (В) 8; (С) 9; (D) 12, правильным является вариант В.

Ответ: 8.

4. Два плоских угла трехгранного угла равны $60^\circ$ и $90^\circ$. В каких границах находится третий плоский угол:

A) больше $60^\circ$ и меньше $90^\circ$;

B) больше $90^\circ$ и меньше $150^\circ$;

C) больше $30^\circ$ и меньше $90^\circ$;

D) больше $30^\circ$ и меньше $150^\circ$?

Дано:

Трехгранный угол, у которого два плоских угла равны:

$\alpha = 60°$

$\beta = 90°$

Найти:

В каких границах находится третий плоский угол $\gamma$.

Решение:

Для любого трехгранного угла справедливы следующие свойства (неравенства для плоских углов):

1. Сумма всех плоских углов меньше $360°$.

2. Каждый плоский угол меньше суммы двух других.

Пусть $\gamma$ — искомый третий плоский угол. Запишем эти свойства в виде системы неравенств:

$ \begin{cases} \alpha + \beta + \gamma < 360° \\ \gamma < \alpha + \beta \\ \alpha < \beta + \gamma \\ \beta < \alpha + \gamma \end{cases} $

Подставим известные значения $\alpha = 60°$ и $\beta = 90°$ в систему:

$ \begin{cases} 60° + 90° + \gamma < 360° \\ \gamma < 60° + 90° \\ 60° < 90° + \gamma \\ 90° < 60° + \gamma \end{cases} $

Решим каждое неравенство относительно $\gamma$:

1. Из первого неравенства:

$150° + \gamma < 360°$

$\gamma < 360° - 150°$

$\gamma < 210°$

2. Из второго неравенства:

$\gamma < 150°$

3. Из третьего неравенства:

$60° - 90° < \gamma$

$-30° < \gamma$

Это неравенство всегда выполняется, так как плоский угол не может быть отрицательным.

4. Из четвертого неравенства:

$90° - 60° < \gamma$

$30° < \gamma$

Теперь объединим все полученные условия для $\gamma$:

$\gamma < 210°$

$\gamma < 150°$

$\gamma > 30°$

Наиболее строгими ограничениями являются $\gamma < 150°$ и $\gamma > 30°$. Следовательно, третий плоский угол должен находиться в интервале от $30°$ до $150°$.

$30° < \gamma < 150°$

Таким образом, третий плоский угол больше $30°$ и меньше $150°$. Это соответствует варианту D).

Ответ: D) больше 30° и меньше 150°?

5. Найдите сумму плоских углов трехгранного угла прямоугольного параллелепипеда:

A) $90^\circ$;

B) $180^\circ$;

C) $270^\circ$;

D) $360^\circ$.

Решение

Трехгранный угол прямоугольного параллелепипеда образуется в каждой его вершине. В каждой вершине сходятся три ребра, перпендикулярные друг другу, и три грани, которые являются прямоугольниками.

Плоские углы трехгранного угла — это углы при вершине на каждой из трех граней, сходящихся в этой вершине. Поскольку все грани прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольниками, все их углы прямые.

Следовательно, каждый из трех плоских углов, образующих трехгранный угол в вершине прямоугольного параллелепипеда, равен $90^\circ$.

Чтобы найти сумму этих плоских углов, нужно сложить их значения:$S = 90^\circ + 90^\circ + 90^\circ = 270^\circ$

Таким образом, сумма плоских углов трехгранного угла прямоугольного параллелепипеда равна $270^\circ$.

Ответ: C) $270^\circ$.

6. У выпуклого многогранника 10 вершин и 15 ребер. Сколько у него граней:

A) 5;

B) 7;

C) 9;

D) 12?

Дано:

Количество вершин выпуклого многогранника $В = 10$

Количество ребер выпуклого многогранника $Р = 15$

Найти:

Количество граней $Г$

Решение:

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Эйлера для выпуклых многогранников. Эта теорема связывает число вершин ($В$), ребер ($Р$) и граней ($Г$) любого выпуклого многогранника простым соотношением:

$В - Р + Г = 2$

Мы знаем количество вершин и ребер, поэтому можем выразить из этой формулы искомое количество граней $Г$:

$Г = 2 - В + Р$

Теперь подставим известные значения в формулу:

$Г = 2 - 10 + 15$

$Г = -8 + 15$

$Г = 7$

Таким образом, у данного выпуклого многогранника 7 граней.

Ответ: 7.

7. У выпуклого многогранника 6 вершин и 5 граней. Сколько у него ребер: A) 5; B) 7; C) 9; D) 12?

Дано:
Количество вершин выпуклого многогранника (В) = 6
Количество граней выпуклого многогранника (Г) = 5

Найти:
Количество рёбер (Р)

Решение:
Для определения количества рёбер выпуклого многогранника воспользуемся формулой Эйлера. Эта формула устанавливает соотношение между числом вершин (В), рёбер (Р) и граней (Г) для любого выпуклого многогранника:
$В - Р + Г = 2$
Подставим в эту формулу известные из условия задачи значения:
$6 - Р + 5 = 2$
Теперь выполним арифметические действия и решим уравнение относительно Р:
$11 - Р = 2$
Перенесём Р в правую часть уравнения, а 2 — в левую:
$Р = 11 - 2$
$Р = 9$
Следовательно, у данного многогранника 9 рёбер. Это соответствует варианту ответа C).
Примером такого многогранника является треугольная призма, у которой 6 вершин, 5 граней (2 треугольных основания и 3 боковые прямоугольные грани) и 9 рёбер.
Ответ: 9.

8. У выпуклого многогранника 12 ребер и 8 граней. Сколько у него вершин:
А) 6;
В) 7;
С) 8;
D) 9:

Дано:

Количество ребер (Р) = 12

Количество граней (Г) = 8

Найти:

Количество вершин (В)

Решение:

Для нахождения количества вершин выпуклого многогранника используется теорема Эйлера. Формула Эйлера связывает число вершин (В), рёбер (Р) и граней (Г) следующим соотношением:

$В - Р + Г = 2$

Подставим известные данные из условия задачи в эту формулу:

$В - 12 + 8 = 2$

Упростим левую часть уравнения:

$В - 4 = 2$

Теперь выразим В, перенеся 4 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$В = 2 + 4$

$В = 6$

Таким образом, у данного многогранника 6 вершин. Это соответствует варианту ответа А. Примером такого многогранника является октаэдр.

Ответ: 6

9. Сколько граней имеет икосаэдр:

A) 8;

B) 12;

C) 16;

D) 20?

Решение

Вопрос касается одного из пяти правильных многогранников (Платоновых тел) — икосаэдра. Название «икосаэдр» имеет греческое происхождение и состоит из двух частей: «εἴκοσι» (эйкоси), что означает «двадцать», и «ἕδρα» (хедра), что означает «грань». Таким образом, само название фигуры прямо указывает на то, что это двадцатигранник.

Правильный икосаэдр состоит из 20 граней, каждая из которых является равносторонним треугольником. Кроме 20 граней (Г), он имеет 12 вершин (В) и 30 рёбер (Р). Эти числа удовлетворяют теореме Эйлера для многогранников: $В - Р + Г = 12 - 30 + 20 = 2$.

Рассмотрим предложенные варианты:

A) 8;
Неверно. 8 граней имеет октаэдр.

B) 12;
Неверно. 12 граней имеет додекаэдр. У икосаэдра же 12 вершин.

C) 16;
Неверно. Ни один из пяти правильных многогранников не имеет 16 граней.

D) 20?
Верно. Икосаэдр имеет 20 граней, что и следует из его определения и названия.

Ответ: 20.

10. Сколько вершин имеет додекаэдр:

A) 8;

B) 12;

C) 16;

D) 20?

Дано:

Рассматривается правильный додекаэдр. Это многогранник со следующими свойствами:

1. Количество граней $Г = 12$.

2. Каждая грань — правильный пятиугольник (имеет $n=5$ вершин и сторон).

3. В каждой вершине многогранника сходится $k=3$ грани.

Найти:

Количество вершин $В$ додекаэдра.

Решение:

Для определения количества вершин додекаэдра можно воспользоваться несколькими методами.

Способ 1. Через подсчет вершин граней

Каждая из 12 граней додекаэдра является пятиугольником, то есть имеет 5 вершин. Если мы умножим количество граней на количество вершин в каждой грани, мы получим общее число вершин, если бы грани были разделены: $12 \times 5 = 60$.

Однако в структуре многогранника каждая вершина является общей для нескольких граней. Для додекаэдра известно, что в каждой вершине сходятся 3 грани. Это значит, что при простом умножении мы посчитали каждую уникальную вершину трижды. Чтобы найти истинное количество вершин ($В$), необходимо разделить полученный результат на 3:

$В = \frac{Г \times n}{k} = \frac{12 \times 5}{3} = \frac{60}{3} = 20$

Способ 2. С помощью формулы Эйлера для многогранников

Формула Эйлера для выпуклых многогранников связывает число вершин ($В$), рёбер ($Р$) и граней ($Г$) соотношением:

$В - Р + Г = 2$

Нам известно количество граней: $Г = 12$.

Сначала найдем количество рёбер ($Р$). Каждая грань (пятиугольник) имеет 5 рёбер. Произведение числа граней на число рёбер в одной грани равно $12 \times 5 = 60$. Поскольку каждое ребро в многограннике является общим для двух смежных граней, это число нужно разделить на 2:

$Р = \frac{12 \times 5}{2} = \frac{60}{2} = 30$

Теперь мы можем подставить известные значения $Р=30$ и $Г=12$ в формулу Эйлера, чтобы найти количество вершин $В$:

$В - 30 + 12 = 2$

$В - 18 = 2$

$В = 2 + 18$

$В = 20$

Оба метода приводят к выводу, что у додекаэдра 20 вершин. Из предложенных вариантов ответа (A) 8; B) 12; C) 16; D) 20) верным является вариант D.

Ответ: D) 20.

11. Вершинами какого многогранника являются центры граней

правильного тетраэдра:

A) тетраэдра;

B) куба;

C) октаэдра;

D) икосаэдра?

Решение

Чтобы определить, какой многогранник образуется, если его вершинами сделать центры граней правильного тетраэдра, нужно проанализировать свойства исходной фигуры и понятие двойственного многогранника. Многогранник, построенный таким образом, называется двойственным (или дуальным) к исходному.

Правильный тетраэдр — это один из пяти платоновых тел. Он обладает следующими характеристиками:

1. Количество граней: $Г = 4$. Все грани являются одинаковыми равносторонними треугольниками.

2. Количество вершин: $В = 4$.

3. Количество рёбер: $Р = 6$.

По условию, вершинами нового многогранника являются центры граней исходного тетраэдра. Поскольку у тетраэдра 4 грани, у нового многогранника будет 4 вершины.

Теперь рассмотрим предложенные варианты ответа с точки зрения количества их вершин:

А) Тетраэдр: 4 вершины.

В) Куб: 8 вершин.

С) Октаэдр: 6 вершин.

D) Икосаэдр: 12 вершин.

Сравнивая количество вершин, мы видим, что единственным подходящим вариантом является тетраэдр.

Это можно подтвердить с помощью общего правила для двойственных многогранников. Для двойственного многогранника число вершин равно числу граней исходного, а число граней — числу вершин исходного. Число рёбер у обоих многогранников одинаково.

Для исходного тетраэдра ($В=4$, $Г=4$, $Р=6$), двойственный многогранник будет иметь:

- Число вершин = $Г_{исходного} = 4$.

- Число граней = $В_{исходного} = 4$.

- Число рёбер = $Р_{исходного} = 6$.

Многогранник, у которого 4 вершины, 4 грани и 6 рёбер, — это тетраэдр. Таким образом, правильный тетраэдр является двойственным самому себе (самодвойственным).

Ответ: А) тетраэдра.