Страница 54 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

12. Вершинами какого многогранника являются центры граней куба:

A) тетраэдра;

B) куба;

C) октаэдра;

D) икосаэдра?

Решение

Для решения этой задачи рассмотрим свойства куба и предложенных многогранников.

1. Куб имеет 6 граней. По условию, центры этих 6 граней являются вершинами нового многогранника. Следовательно, искомый многогранник должен иметь 6 вершин.

2. Проанализируем количество вершин у многогранников, предложенных в вариантах ответа:

A) тетраэдр: правильный тетраэдр имеет 4 вершины.

B) куб: куб имеет 8 вершин.

C) октаэдр: правильный октаэдр имеет 6 вершин.

D) икосаэдр: правильный икосаэдр имеет 12 вершин.

3. Сравнивая количество вершин, мы видим, что только у октаэдра их 6, что соответствует количеству центров граней куба.

Это можно также представить геометрически. Если соединить отрезками центр каждой грани куба с центрами четырех соседних граней, получится фигура, состоящая из двух четырехгранных пирамид, соединенных основаниями. Эта фигура и есть октаэдр. Многогранник, построенный таким образом, называется двойственным к исходному. Октаэдр и куб являются двойственными друг другу.

Ответ: C) октаэдра.

13. Сколько пятиугольников входит в развертку додекаэдра:

A) 8;

B) 12;

C) 16;

D) 20?

Решение

Вопрос заключается в определении количества пятиугольников, из которых состоит развертка додекаэдра.

Додекаэдр — это правильный многогранник, один из пяти Платоновых тел. Название "додекаэдр" происходит от древнегреческого "δώδεκα" (додека), что означает "двенадцать", и "ἕδρα" (эдра), что означает "грань". Таким образом, само название указывает на то, что у этого многогранника 12 граней.

По определению, все грани правильного додекаэдра являются правильными пятиугольниками.

Развертка многогранника — это плоская фигура, которая получается, если "разрезать" многогранник по некоторым ребрам и разложить его на плоскости. Соответственно, развертка состоит из всех граней многогранника.

Поскольку додекаэдр имеет 12 граней, и каждая грань — это пятиугольник, то его развертка будет состоять из 12 пятиугольников.

Следовательно, из предложенных вариантов правильным является 12.

Ответ: B) 12.

14. Чему равна площадь поверхности правильного тетраэдра, ребра которого равны 2:

A) $\sqrt{3}$;

B) $2\sqrt{3}$;

C) $3\sqrt{3}$;

D) $4\sqrt{3}$?

Дано:

Правильный тетраэдр.
Длина ребра, $a = 2$.

Найти:

Площадь поверхности тетраэдра, $S_{пов}$.

Решение:

Правильный тетраэдр представляет собой многогранник, все грани которого являются равносторонними треугольниками. Всего у тетраэдра 4 грани.

Площадь полной поверхности тетраэдра равна произведению площади одной грани на количество граней (то есть на 4).

Найдем площадь одной грани. Грань является равносторонним треугольником со стороной $a = 2$. Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле:
$S_{грани} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

Подставим значение длины ребра $a = 2$ в формулу:
$S_{грани} = \frac{2^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{4 \sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$

Теперь вычислим площадь полной поверхности тетраэдра, умножив площадь одной грани на 4:
$S_{пов} = 4 \cdot S_{грани} = 4 \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$

Таким образом, площадь поверхности правильного тетраэдра с ребром 2 равна $4\sqrt{3}$. Это соответствует варианту D).

Ответ: $4\sqrt{3}$.

15. Каким многоугольником является сечение куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через середины ребер $AB$, $BC$ и $AA_1$:

A) треугольником;

B) четырехугольником;

C) пятиугольником;

D) шестиугольником?

Решение

Для определения формы многоугольника, являющегося сечением куба, построим это сечение. Обозначим заданные точки, через которые проходит секущая плоскость: $K$ — середина ребра $AB$, $L$ — середина ребра $BC$, $M$ — середина ребра $AA_1$.

Построение сечения выполняется пошагово:

1. Соединим точки, которые лежат в одной грани куба.

• Точки $K$ и $M$ лежат на передней грани $ABB_1A_1$. Соединив их, получаем отрезок $KM$ — одну из сторон сечения.
• Точки $K$ и $L$ лежат на нижней грани $ABCD$. Соединив их, получаем отрезок $KL$ — вторую сторону сечения.

2. Для нахождения остальных сторон сечения воспользуемся свойством: если секущая плоскость пересекает две параллельные грани, то линии их пересечения параллельны.

3. Найдем точку пересечения плоскости с ребром $CC_1$. Назовем ее $N$. Грань $BCC_1B_1$ (правая) параллельна грани $ADD_1A_1$ (левой). Следовательно, линия пересечения $LN$ на правой грани должна быть параллельна линии пересечения на левой грани, проходящей через точку $M$. Рассуждая аналогично для других пар параллельных граней, мы можем построить все сечение.

Проследим последовательно все вершины сечения:

• Начинаем с отрезка $KL$ на нижней грани $ABCD$.
• Из точки $L$ сечение переходит на грань $BCC_1B_1$ и пересекает ребро $CC_1$ в его середине. Обозначим эту точку $N$. Получаем отрезок $LN$.
• Из точки $N$ сечение переходит на заднюю грань $CDD_1C_1$. Так как эта грань параллельна передней грани $ABB_1A_1$, то линия сечения $NP$ будет параллельна отрезку $KM$. Точка $P$ окажется серединой ребра $C_1D_1$.
• Из точки $P$ сечение переходит на верхнюю грань $A_1B_1C_1D_1$. Эта грань параллельна нижней грани $ABCD$, поэтому линия сечения $PQ$ будет параллельна отрезку $KL$. Точка $Q$ окажется серединой ребра $D_1A_1$.
• Из точки $Q$ сечение переходит на левую грань $ADD_1A_1$. На этой грани также лежит точка $M$. Соединяем точки $Q$ и $M$ отрезком $QM$. Этот отрезок замыкает многоугольник сечения.

Таким образом, вершинами многоугольника в сечении являются шесть точек, которые являются серединами ребер куба: $K$ (на $AB$), $L$ (на $BC$), $N$ (на $CC_1$), $P$ (на $C_1D_1$), $Q$ (на $D_1A_1$) и $M$ (на $AA_1$).

Поскольку полученный многоугольник имеет 6 вершин ($K, L, N, P, Q, M$), он является шестиугольником.

Ответ: D) шестиугольником.

16. Каким многоугольником является сечение правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$ плоскостью, проходящей через середины ребер $AB$, $BC$ и $SD$:

А) треугольником;

В) четырехугольником;

С) пятиугольником;

D) шестиугольником?

Решение

Для определения вида многоугольника в сечении необходимо построить это сечение. Пусть M, N, P — середины рёбер AB, BC и SD правильной четырёхугольной пирамиды SABCD соответственно. Секущая плоскость, обозначим её $\alpha$, проходит через эти три точки.

Построение сечения выполняется пошагово, находя точки пересечения плоскости $\alpha$ с рёбрами пирамиды.

1. Точки M и N лежат на рёбрах AB и BC, которые принадлежат плоскости основания ABCD. Следовательно, отрезок MN является линией пересечения секущей плоскости $\alpha$ с гранью основания ABCD. Этот отрезок — одна из сторон искомого сечения.

2. Чтобы найти пересечения с боковыми гранями, воспользуемся методом следов. Прямая MN является следом секущей плоскости на плоскости основания. Продлим прямую MN до пересечения с прямой CD в точке Q. Точка Q принадлежит секущей плоскости $\alpha$ (так как лежит на продолжении MN) и плоскости грани SCD (так как лежит на прямой CD).

3. Теперь рассмотрим грань SCD. В плоскости этой грани лежат две точки, принадлежащие секущей плоскости $\alpha$: заданная точка P (середина SD) и построенная точка Q. Проведём через них прямую PQ. Эта прямая является линией пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью грани SCD. Прямая PQ пересекает ребро SC в некоторой точке, назовём её R. Таким образом, мы нашли две стороны сечения: PR (в грани SCD) и NR (поскольку точки N и R лежат в одной грани SBC).

4. Аналогично, продлим прямую MN в другую сторону до пересечения с прямой AD в точке K. Точка K принадлежит секущей плоскости $\alpha$ и плоскости грани SAD.

5. Рассмотрим грань SAD. В её плоскости лежат две точки секущей плоскости $\alpha$: точка P (середина SD) и точка K. Прямая PK пересекает ребро SA в некоторой точке, назовём её T. Отрезок PT является стороной сечения. Также мы получаем сторону TM, так как точки T и M лежат в одной грани SAB.

6. В результате построения мы получили замкнутую ломаную линию, состоящую из пяти отрезков: MN, NR, RP, PT и TM. Вершины этого многоугольника (M, N, R, P, T) лежат на рёбрах пирамиды (AB, BC, SC, SD, SA соответственно).

Таким образом, сечение представляет собой многоугольник с пятью вершинами, то есть является пятиугольником.

Ответ: C) пятиугольником.

17. Сколько осей симметрии имеет куб:

A) $3$;

B) $6$;

C) $8$;

D) $9$?

Решение

Ось симметрии – это прямая, при повороте вокруг которой на некоторый угол, отличный от 360°, тело совмещается само с собой. У куба существует несколько типов осей симметрии. Давайте их систематически рассмотрим и посчитаем.

Существуют три типа осей симметрии куба:
1. Оси, проходящие через центры противоположных граней. У куба 6 граней, которые образуют 3 пары противоположных граней. Через центр каждой такой пары проходит одна ось симметрии. При повороте вокруг такой оси на 90°, 180° или 270° куб совмещается сам с собой. Таким образом, существует 3 таких оси.
2. Оси, проходящие через середины противоположных ребер. У куба 12 ребер, которые образуют 6 пар параллельных и противоположных ребер. Через середины каждой такой пары можно провести ось симметрии. При повороте вокруг такой оси на 180° куб совмещается сам с собой. Следовательно, существует 6 таких осей.
3. Оси, проходящие через противоположные вершины (главные диагонали куба). У куба 8 вершин, которые образуют 4 пары противоположных вершин. Прямая, соединяющая противоположные вершины, является осью симметрии. При повороте вокруг такой оси на 120° или 240° куб переходит в себя. Всего таких осей 4.

Суммируя все типы осей, получаем общее количество осей симметрии куба: $3 + 6 + 4 = 13$

Таким образом, правильный ответ на вопрос "Сколько осей симметрии имеет куб?" – 13. Однако, такого варианта среди предложенных (A) 3, B) 6, C) 8, D) 9) нет.

Это позволяет предположить, что в вопросе допущена опечатка, и, вероятно, имелись в виду плоскости симметрии, а не оси. Количество плоскостей симметрии куба равно 9. Давайте проанализируем плоскости симметрии:
1. Плоскости, проходящие через середины параллельных ребер (и параллельные граням). Каждая такая плоскость делит куб пополам и параллельна двум противоположным граням. Таких плоскостей 3.
2. Диагональные плоскости, проходящие через противоположные ребра куба. У куба 12 ребер, которые образуют 6 пар противоположных ребер. Через каждую пару можно провести диагональную плоскость симметрии. Таких плоскостей 6.

Суммарное количество плоскостей симметрии: $3 + 6 = 9$

Это число (9) соответствует варианту ответа D. Учитывая, что правильного ответа (13) для осей симметрии нет в вариантах, наиболее вероятно, что вопрос был о количестве плоскостей симметрии.

Ответ: D) 9.

18. Сколько осей симметрии имеет правильная пятиугольная призма:

A) 5; B) 6; C) 8; D) 9?

Решение

Правильная пятиугольная призма — это объёмная фигура, у которой основаниями являются два равных правильных пятиугольника, а боковые грани — равные прямоугольники, перпендикулярные основаниям. Ось симметрии — это прямая, при повороте вокруг которой на некоторый угол (меньший $360^\circ$) фигура совмещается сама с собой. У правильной пятиугольной призмы есть два типа осей симметрии.

1. Одна ось симметрии проходит через центры верхнего и нижнего оснований (правильных пятиугольников). Правильный пятиугольник имеет ось симметрии 5-го порядка, то есть он совмещается сам с собой при повороте на угол $360^\circ / 5 = 72^\circ$. Соответственно, и вся призма при повороте вокруг этой оси на $72^\circ$ (а также на кратные углы: $144^\circ, 216^\circ, 288^\circ$) будет совмещаться сама с собой. Это одна главная ось симметрии.

2. Другие оси симметрии лежат в плоскости, которая параллельна основаниям и проходит ровно посередине между ними. Эти оси соответствуют осям симметрии правильного пятиугольника в этой плоскости. У правильного пятиугольника есть 5 осей симметрии: каждая проходит через одну из вершин и середину противоположной стороны. Для призмы это будут оси, проходящие через середину бокового ребра и середину противоположной боковой грани. При повороте на $180^\circ$ вокруг любой из этих осей призма совмещается сама с собой. Таких осей пять.

Суммируя количество осей обоих типов, получаем общее число осей симметрии:

$1$ (ось 5-го порядка) $+ 5$ (осей 2-го порядка) $= 6$ осей симметрии.

Ответ: B) 6;

19. Сколько плоскостей симметрии имеет правильный тетраэдр:

A) 3;

B) 6;

C) 8;

D) 9?

Правильный тетраэдр — это объёмная геометрическая фигура, многогранник, у которого все четыре грани являются равносторонними треугольниками. Соответственно, все шесть рёбер тетраэдра равны между собой, и все его четыре вершины равноправны.

Плоскость симметрии — это воображаемая плоскость, которая делит фигуру на две части, являющиеся точными зеркальными отражениями друг друга.

Чтобы определить количество плоскостей симметрии у правильного тетраэдра, нужно найти все возможные плоскости, относительно которых он симметричен.

Каждая плоскость симметрии правильного тетраэдра проходит через одно из его рёбер и через середину противоположного (скрещивающегося) ему ребра.

Рассмотрим, почему такая плоскость является плоскостью симметрии. Обозначим вершины тетраэдра как $A, B, C, D$. Выберем одну из таких плоскостей, например, ту, что проходит через ребро $AB$ и середину $M$ противоположного ребра $CD$.

1. Так как тетраэдр правильный, его грани $ACD$ и $BCD$ — это равносторонние треугольники.
2. В равностороннем треугольнике $ACD$ медиана $AM$ (проведенная к стороне $CD$) является также и высотой. Следовательно, отрезок $AM$ перпендикулярен ребру $CD$ ($AM \perp CD$).
3. Аналогично, в равностороннем треугольнике $BCD$ медиана $BM$ является высотой, и, значит, $BM \perp CD$.

Поскольку прямая $CD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($AM$ и $BM$), лежащим в рассматриваемой плоскости, то прямая $CD$ перпендикулярна всей этой плоскости. Так как плоскость проходит через середину $M$ отрезка $CD$ и перпендикулярна ему, она является плоскостью симметрии для точек $C$ и $D$ (то есть, отражение точки $C$ относительно этой плоскости есть точка $D$, и наоборот). Точки $A$ и $B$ лежат в самой плоскости, поэтому при отражении они переходят сами в себя. Таким образом, вся фигура (тетраэдр $ABCD$) при отражении переходит сама в себя, а значит, эта плоскость является плоскостью симметрии.

Теперь посчитаем общее количество таких плоскостей. У тетраэдра 6 рёбер. Каждое ребро образует одну уникальную плоскость симметрии с серединой противолежащего ребра.
Список рёбер и их противоположных пар:
• Ребро $AB$ и ребро $CD$
• Ребро $AC$ и ребро $BD$
• Ребро $AD$ и ребро $BC$

Для каждой пары скрещивающихся рёбер можно провести две плоскости симметрии: одну через первое ребро и середину второго, и вторую — через второе ребро и середину первого. Однако, в случае тетраэдра, плоскость, проходящая через ребро $AB$ и середину $CD$, — это та же самая плоскость, что и плоскость, проходящая через середину $AB$ и ребро $CD$. Нет, это неверно. Плоскость определяется тремя точками, например, A, B и M(середина CD). Это одна плоскость. Другая плоскость - C, D и N(середина AB). Это другая плоскость.
Поэтому для каждого ребра существует одна своя плоскость симметрии:
1. Плоскость, проходящая через ребро $AB$ и середину ребра $CD$.
2. Плоскость, проходящая через ребро $CD$ и середину ребра $AB$.
3. Плоскость, проходящая через ребро $AC$ и середину ребра $BD$.
4. Плоскость, проходящая через ребро $BD$ и середину ребра $AC$.
5. Плоскость, проходящая через ребро $AD$ и середину ребра $BC$.
6. Плоскость, проходящая через ребро $BC$ и середину ребра $AD$.

Всего получается 6 различных плоскостей симметрии.

Ответ: 6.

20. Сколько плоскостей симметрии имеет правильная шестиугольная призма:

A) 3;

B) 5;

C) 7;

D) 9?

Решение

Плоскость симметрии — это плоскость, которая делит геометрическое тело на две зеркально равные части. Для правильной шестиугольной призмы плоскости симметрии можно разделить на два типа.

1. Вертикальные плоскости симметрии. Эти плоскости проходят через ось призмы (линию, соединяющую центры оснований) и перпендикулярны основаниям. Их количество равно количеству осей симметрии у фигуры в основании, то есть у правильного шестиугольника. Правильный шестиугольник имеет 6 осей симметрии: 3 оси проходят через противоположные вершины, и еще 3 оси проходят через середины противоположных сторон. Таким образом, существует 6 вертикальных плоскостей симметрии.

2. Горизонтальная плоскость симметрии. Эта плоскость параллельна основаниям призмы и проходит ровно посередине ее высоты. Такая плоскость всего одна.

Чтобы найти общее количество плоскостей симметрии, нужно сложить количество вертикальных и горизонтальных плоскостей:

$6 \text{ (вертикальных)} + 1 \text{ (горизонтальная)} = 7$

Следовательно, правильная шестиугольная призма имеет 7 плоскостей симметрии. Это соответствует варианту C).

Ответ: 7.