Номер 16, страница 54 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

16. Каким многоугольником является сечение правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$ плоскостью, проходящей через середины ребер $AB$, $BC$ и $SD$:

А) треугольником;

В) четырехугольником;

С) пятиугольником;

D) шестиугольником?

Решение

Для определения вида многоугольника в сечении необходимо построить это сечение. Пусть M, N, P — середины рёбер AB, BC и SD правильной четырёхугольной пирамиды SABCD соответственно. Секущая плоскость, обозначим её $\alpha$, проходит через эти три точки.

Построение сечения выполняется пошагово, находя точки пересечения плоскости $\alpha$ с рёбрами пирамиды.

1. Точки M и N лежат на рёбрах AB и BC, которые принадлежат плоскости основания ABCD. Следовательно, отрезок MN является линией пересечения секущей плоскости $\alpha$ с гранью основания ABCD. Этот отрезок — одна из сторон искомого сечения.

2. Чтобы найти пересечения с боковыми гранями, воспользуемся методом следов. Прямая MN является следом секущей плоскости на плоскости основания. Продлим прямую MN до пересечения с прямой CD в точке Q. Точка Q принадлежит секущей плоскости $\alpha$ (так как лежит на продолжении MN) и плоскости грани SCD (так как лежит на прямой CD).

3. Теперь рассмотрим грань SCD. В плоскости этой грани лежат две точки, принадлежащие секущей плоскости $\alpha$: заданная точка P (середина SD) и построенная точка Q. Проведём через них прямую PQ. Эта прямая является линией пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью грани SCD. Прямая PQ пересекает ребро SC в некоторой точке, назовём её R. Таким образом, мы нашли две стороны сечения: PR (в грани SCD) и NR (поскольку точки N и R лежат в одной грани SBC).

4. Аналогично, продлим прямую MN в другую сторону до пересечения с прямой AD в точке K. Точка K принадлежит секущей плоскости $\alpha$ и плоскости грани SAD.

5. Рассмотрим грань SAD. В её плоскости лежат две точки секущей плоскости $\alpha$: точка P (середина SD) и точка K. Прямая PK пересекает ребро SA в некоторой точке, назовём её T. Отрезок PT является стороной сечения. Также мы получаем сторону TM, так как точки T и M лежат в одной грани SAB.

6. В результате построения мы получили замкнутую ломаную линию, состоящую из пяти отрезков: MN, NR, RP, PT и TM. Вершины этого многоугольника (M, N, R, P, T) лежат на рёбрах пирамиды (AB, BC, SC, SD, SA соответственно).

Таким образом, сечение представляет собой многоугольник с пятью вершинами, то есть является пятиугольником.

Ответ: C) пятиугольником.