Номер 18, страница 54 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

18. Сколько осей симметрии имеет правильная пятиугольная призма:

A) 5; B) 6; C) 8; D) 9?

Решение

Правильная пятиугольная призма — это объёмная фигура, у которой основаниями являются два равных правильных пятиугольника, а боковые грани — равные прямоугольники, перпендикулярные основаниям. Ось симметрии — это прямая, при повороте вокруг которой на некоторый угол (меньший $360^\circ$) фигура совмещается сама с собой. У правильной пятиугольной призмы есть два типа осей симметрии.

1. Одна ось симметрии проходит через центры верхнего и нижнего оснований (правильных пятиугольников). Правильный пятиугольник имеет ось симметрии 5-го порядка, то есть он совмещается сам с собой при повороте на угол $360^\circ / 5 = 72^\circ$. Соответственно, и вся призма при повороте вокруг этой оси на $72^\circ$ (а также на кратные углы: $144^\circ, 216^\circ, 288^\circ$) будет совмещаться сама с собой. Это одна главная ось симметрии.

2. Другие оси симметрии лежат в плоскости, которая параллельна основаниям и проходит ровно посередине между ними. Эти оси соответствуют осям симметрии правильного пятиугольника в этой плоскости. У правильного пятиугольника есть 5 осей симметрии: каждая проходит через одну из вершин и середину противоположной стороны. Для призмы это будут оси, проходящие через середину бокового ребра и середину противоположной боковой грани. При повороте на $180^\circ$ вокруг любой из этих осей призма совмещается сама с собой. Таких осей пять.

Суммируя количество осей обоих типов, получаем общее число осей симметрии:

$1$ (ось 5-го порядка) $+ 5$ (осей 2-го порядка) $= 6$ осей симметрии.

Ответ: B) 6;