Номер 15, страница 54 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

15. Каким многоугольником является сечение куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через середины ребер $AB$, $BC$ и $AA_1$:

A) треугольником;

B) четырехугольником;

C) пятиугольником;

D) шестиугольником?

Решение

Для определения формы многоугольника, являющегося сечением куба, построим это сечение. Обозначим заданные точки, через которые проходит секущая плоскость: $K$ — середина ребра $AB$, $L$ — середина ребра $BC$, $M$ — середина ребра $AA_1$.

Построение сечения выполняется пошагово:

1. Соединим точки, которые лежат в одной грани куба.

• Точки $K$ и $M$ лежат на передней грани $ABB_1A_1$. Соединив их, получаем отрезок $KM$ — одну из сторон сечения.
• Точки $K$ и $L$ лежат на нижней грани $ABCD$. Соединив их, получаем отрезок $KL$ — вторую сторону сечения.

2. Для нахождения остальных сторон сечения воспользуемся свойством: если секущая плоскость пересекает две параллельные грани, то линии их пересечения параллельны.

3. Найдем точку пересечения плоскости с ребром $CC_1$. Назовем ее $N$. Грань $BCC_1B_1$ (правая) параллельна грани $ADD_1A_1$ (левой). Следовательно, линия пересечения $LN$ на правой грани должна быть параллельна линии пересечения на левой грани, проходящей через точку $M$. Рассуждая аналогично для других пар параллельных граней, мы можем построить все сечение.

Проследим последовательно все вершины сечения:

• Начинаем с отрезка $KL$ на нижней грани $ABCD$.
• Из точки $L$ сечение переходит на грань $BCC_1B_1$ и пересекает ребро $CC_1$ в его середине. Обозначим эту точку $N$. Получаем отрезок $LN$.
• Из точки $N$ сечение переходит на заднюю грань $CDD_1C_1$. Так как эта грань параллельна передней грани $ABB_1A_1$, то линия сечения $NP$ будет параллельна отрезку $KM$. Точка $P$ окажется серединой ребра $C_1D_1$.
• Из точки $P$ сечение переходит на верхнюю грань $A_1B_1C_1D_1$. Эта грань параллельна нижней грани $ABCD$, поэтому линия сечения $PQ$ будет параллельна отрезку $KL$. Точка $Q$ окажется серединой ребра $D_1A_1$.
• Из точки $Q$ сечение переходит на левую грань $ADD_1A_1$. На этой грани также лежит точка $M$. Соединяем точки $Q$ и $M$ отрезком $QM$. Этот отрезок замыкает многоугольник сечения.

Таким образом, вершинами многоугольника в сечении являются шесть точек, которые являются серединами ребер куба: $K$ (на $AB$), $L$ (на $BC$), $N$ (на $CC_1$), $P$ (на $C_1D_1$), $Q$ (на $D_1A_1$) и $M$ (на $AA_1$).

Поскольку полученный многоугольник имеет 6 вершин ($K, L, N, P, Q, M$), он является шестиугольником.

Ответ: D) шестиугольником.