Номер 17, страница 54 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

17. Сколько осей симметрии имеет куб:

A) $3$;

B) $6$;

C) $8$;

D) $9$?

Решение

Ось симметрии – это прямая, при повороте вокруг которой на некоторый угол, отличный от 360°, тело совмещается само с собой. У куба существует несколько типов осей симметрии. Давайте их систематически рассмотрим и посчитаем.

Существуют три типа осей симметрии куба:
1. Оси, проходящие через центры противоположных граней. У куба 6 граней, которые образуют 3 пары противоположных граней. Через центр каждой такой пары проходит одна ось симметрии. При повороте вокруг такой оси на 90°, 180° или 270° куб совмещается сам с собой. Таким образом, существует 3 таких оси.
2. Оси, проходящие через середины противоположных ребер. У куба 12 ребер, которые образуют 6 пар параллельных и противоположных ребер. Через середины каждой такой пары можно провести ось симметрии. При повороте вокруг такой оси на 180° куб совмещается сам с собой. Следовательно, существует 6 таких осей.
3. Оси, проходящие через противоположные вершины (главные диагонали куба). У куба 8 вершин, которые образуют 4 пары противоположных вершин. Прямая, соединяющая противоположные вершины, является осью симметрии. При повороте вокруг такой оси на 120° или 240° куб переходит в себя. Всего таких осей 4.

Суммируя все типы осей, получаем общее количество осей симметрии куба: $3 + 6 + 4 = 13$

Таким образом, правильный ответ на вопрос "Сколько осей симметрии имеет куб?" – 13. Однако, такого варианта среди предложенных (A) 3, B) 6, C) 8, D) 9) нет.

Это позволяет предположить, что в вопросе допущена опечатка, и, вероятно, имелись в виду плоскости симметрии, а не оси. Количество плоскостей симметрии куба равно 9. Давайте проанализируем плоскости симметрии:
1. Плоскости, проходящие через середины параллельных ребер (и параллельные граням). Каждая такая плоскость делит куб пополам и параллельна двум противоположным граням. Таких плоскостей 3.
2. Диагональные плоскости, проходящие через противоположные ребра куба. У куба 12 ребер, которые образуют 6 пар противоположных ребер. Через каждую пару можно провести диагональную плоскость симметрии. Таких плоскостей 6.

Суммарное количество плоскостей симметрии: $3 + 6 = 9$

Это число (9) соответствует варианту ответа D. Учитывая, что правильного ответа (13) для осей симметрии нет в вариантах, наиболее вероятно, что вопрос был о количестве плоскостей симметрии.

Ответ: D) 9.