Вопрос?, страница 55 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

В каком случае две прямые, заданные параметрическими уравнениями будут $ \begin{cases} x = x_1 + k_1t, & x = x_2 + k_2t \\ y = y_1 + l_1t, & y = y_2 + l_2t \\ z = z_1 + m_1t, & z = z_2 + m_2t \end{cases} $, параллельны?

Параметрические уравнения прямой в пространстве определяются точкой, через которую проходит прямая, и направляющим вектором, который задает ее направление. Для первой прямой, заданной системой уравнений $ \begin{cases} x = x_1 + k_1t \\ y = y_1 + l_1t \\ z = z_1 + m_1t \end{cases} $, точкой на прямой является $ M_1(x_1, y_1, z_1) $, а направляющим вектором — $ \vec{s_1} = \{k_1; l_1; m_1\} $.

Аналогично, для второй прямой $ \begin{cases} x = x_2 + k_2t \\ y = y_2 + l_2t \\ z = z_2 + m_2t \end{cases} $ точкой является $ M_2(x_2, y_2, z_2) $, а направляющим вектором — $ \vec{s_2} = \{k_2; l_2; m_2\} $.

Две прямые в пространстве являются параллельными тогда и только тогда, когда их направляющие векторы коллинеарны (то есть параллельны). Условием коллинеарности двух векторов является пропорциональность их соответствующих координат. Это означает, что для векторов $ \vec{s_1} $ и $ \vec{s_2} $ должно выполняться следующее соотношение:

$ \frac{k_1}{k_2} = \frac{l_1}{l_2} = \frac{m_1}{m_2} $

Это равенство является условием параллельности двух прямых. Следует учесть, что если какая-либо из координат второго вектора (знаменатель) равна нулю, то для выполнения условия коллинеарности соответствующая координата первого вектора (числитель) также должна быть равна нулю. Например, если $ l_2 = 0 $, то и $ l_1 $ должен быть равен 0.

Ответ: Две прямые, заданные параметрическими уравнениями, будут параллельны, если координаты их направляющих векторов $ \{k_1; l_1; m_1\} $ и $ \{k_2; l_2; m_2\} $ пропорциональны, то есть выполняется условие $ \frac{k_1}{k_2} = \frac{l_1}{l_2} = \frac{m_1}{m_2} $.