Номер 8.4, страница 57 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

8.4. Найдите косинус угла между прямыми l и m, заданными параметрическими уравнениями:

$l: \begin{cases} x = 1 + 2t, \\ y = 1 + 2t, \\ z = 1 - t; \end{cases}$ $m: \begin{cases} x = 3 + t, \\ y = -2t, \\ z = 4 + 2t. \end{cases}$

Дано:

Параметрические уравнения прямых $l$ и $m$.

Прямая $l$: $ \begin{cases} x = 1 + 2t, \\ y = 1 + 2t, \\ z = 1 - t; \end{cases} $

Прямая $m$: $ \begin{cases} x = 3 + t, \\ y = -2t, \\ z = 4 + 2t. \end{cases} $

Найти:

Косинус угла $\varphi$ между прямыми $l$ и $m$.

Решение:

Угол между двумя прямыми в пространстве определяется как угол между их направляющими векторами. Направляющий вектор прямой, заданной параметрическими уравнениями вида $ \begin{cases} x = x_0 + at, \\ y = y_0 + bt, \\ z = z_0 + ct; \end{cases} $ имеет координаты $\vec{s} = \{a; b; c\}$.

Из уравнений прямой $l$ находим её направляющий вектор $\vec{s_l}$ (коэффициенты при параметре $t$):

$\vec{s_l} = \{2; 2; -1\}$

Аналогично, из уравнений прямой $m$ находим её направляющий вектор $\vec{s_m}$:

$\vec{s_m} = \{1; -2; 2\}$

Косинус угла $\varphi$ между двумя прямыми вычисляется по формуле:

$\cos \varphi = \frac{|\vec{s_l} \cdot \vec{s_m}|}{|\vec{s_l}| \cdot |\vec{s_m}|}$

где $\vec{s_l} \cdot \vec{s_m}$ — скалярное произведение векторов, а $|\vec{s_l}|$ и $|\vec{s_m}|$ — их модули (длины). Угол между прямыми по определению является острым, поэтому используется модуль скалярного произведения.

1. Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{s_l}$ и $\vec{s_m}$:

$\vec{s_l} \cdot \vec{s_m} = 2 \cdot 1 + 2 \cdot (-2) + (-1) \cdot 2 = 2 - 4 - 2 = -4$

2. Вычислим модули векторов:

$|\vec{s_l}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$

$|\vec{s_m}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$

3. Подставим найденные значения в формулу для косинуса угла:

$\cos \varphi = \frac{|-4|}{3 \cdot 3} = \frac{4}{9}$

Ответ: $\frac{4}{9}$.