Номер 8.8, страница 58 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

8.8. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$ стороны основания и высота равны 4 см. Точка $E$ — середина ребра $SB$. Найдите косинус угла между прямыми $AE$ и $SC$.

Дано:

$SABCD$ – правильная четырехугольная пирамида
Сторона основания $a = 4$ см
Высота $h = 4$ см
$E$ – середина ребра $SB$

$a = 0.04$ м
$h = 0.04$ м

Найти:

$\cos(\alpha)$, где $\alpha$ - угол между прямыми $AE$ и $SC$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат. Пусть вершина основания $A$ совпадает с началом координат, ось $Ox$ направлена вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ – вдоль ребра $AD$. Ось $Oz$ будет перпендикулярна плоскости основания.

В этой системе координат найдем координаты вершин пирамиды и точки $E$.

Координаты вершин основания $ABCD$ (квадрат со стороной 4):
$A(0; 0; 0)$
$B(4; 0; 0)$
$C(4; 4; 0)$
$D(0; 4; 0)$

Вершина пирамиды $S$ проецируется в центр основания – точку $O$. Точка $O$ – это точка пересечения диагоналей квадрата $ABCD$, ее координаты являются полусуммой координат противоположных вершин, например, $A$ и $C$:
$O(\frac{0+4}{2}; \frac{0+4}{2}; 0) = O(2; 2; 0)$.
Так как высота пирамиды $h=4$, то аппликата точки $S$ равна 4. Следовательно, координаты вершины $S$:
$S(2; 2; 4)$

Точка $E$ является серединой ребра $SB$. Найдем ее координаты как полусумму координат точек $S$ и $B$:
$E(\frac{2+4}{2}; \frac{2+0}{2}; \frac{4+0}{2}) = E(3; 1; 2)$

Теперь найдем векторы, соответствующие прямым $AE$ и $SC$.
Вектор $\vec{AE}$ имеет координаты:
$\vec{AE} = (3-0; 1-0; 2-0) = \{3; 1; 2\}$
Вектор $\vec{SC}$ имеет координаты:
$\vec{SC} = (4-2; 4-2; 0-4) = \{2; 2; -4\}$

Косинус угла $\alpha$ между прямыми (и соответствующими векторами) находится по формуле: $ \cos(\alpha) = \frac{|\vec{AE} \cdot \vec{SC}|}{|\vec{AE}| \cdot |\vec{SC}|} $

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{AE}$ и $\vec{SC}$:
$\vec{AE} \cdot \vec{SC} = 3 \cdot 2 + 1 \cdot 2 + 2 \cdot (-4) = 6 + 2 - 8 = 0$

Так как скалярное произведение векторов равно нулю, это означает, что векторы перпендикулярны. Следовательно, и прямые $AE$ и $SC$ перпендикулярны, а угол между ними равен $90^\circ$.

Косинус угла $90^\circ$ равен нулю.

$\cos(\alpha) = \frac{|0|}{|\vec{AE}| \cdot |\vec{SC}|} = 0$

Ответ: 0.