Номер 8.15, страница 59 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

8.14. Повторите определение угла между плоскостями.

8.15. Повторите способы задания уравнения плоскости в пространстве.

Решение

Плоскость в трехмерном пространстве может быть задана различными способами, каждый из которых удобен для решения определенного типа задач. Рассмотрим основные виды уравнений плоскости.

1. Общее уравнение плоскости

Это наиболее универсальная форма задания плоскости. Любая плоскость в прямоугольной декартовой системе координат $Oxyz$ может быть представлена линейным уравнением:

$Ax + By + Cz + D = 0$

где $A, B, C, D$ – действительные коэффициенты. Важным условием является то, что хотя бы один из коэффициентов $A, B$ или $C$ должен быть отличен от нуля. Вектор $\vec{n} = (A, B, C)$ называется вектором нормали к плоскости, то есть он перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Ответ: $Ax + By + Cz + D = 0$.

2. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору

Если известна точка $M_0(x_0, y_0, z_0)$, принадлежащая плоскости, и вектор нормали $\vec{n} = (A, B, C)$, перпендикулярный этой плоскости, то уравнение можно составить следующим образом. Для любой точки $M(x, y, z)$ плоскости вектор $\vec{M_0M} = (x-x_0, y-y_0, z-z_0)$ лежит в этой плоскости и, следовательно, перпендикулярен вектору нормали $\vec{n}$. Условие их перпендикулярности (равенство нулю их скалярного произведения $\vec{n} \cdot \vec{M_0M} = 0$) дает уравнение:

$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$

Ответ: $A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$.

3. Уравнение плоскости, проходящей через три точки

Плоскость однозначно определяется тремя точками, не лежащими на одной прямой: $M_1(x_1, y_1, z_1)$, $M_2(x_2, y_2, z_2)$ и $M_3(x_3, y_3, z_3)$. Для произвольной точки плоскости $M(x, y, z)$ векторы $\vec{M_1M} = (x-x_1, y-y_1, z-z_1)$, $\vec{M_1M_2} = (x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1)$ и $\vec{M_1M_3} = (x_3-x_1, y_3-y_1, z_3-z_1)$ лежат в одной плоскости (компланарны). Условие компланарности векторов — равенство нулю их смешанного произведения, что приводит к уравнению:

$\begin{vmatrix} x - x_1 & y - y_1 & z - z_1 \\ x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \\ x_3 - x_1 & y_3 - y_1 & z_3 - z_1 \end{vmatrix} = 0$

Ответ: $\begin{vmatrix} x - x_1 & y - y_1 & z - z_1 \\ x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \\ x_3 - x_1 & y_3 - y_1 & z_3 - z_1 \end{vmatrix} = 0$.

4. Уравнение плоскости в отрезках

Если плоскость не проходит через начало координат и отсекает на осях $Ox, Oy, Oz$ отрезки величиной $a, b, c$ соответственно, то есть проходит через точки $(a, 0, 0)$, $(0, b, 0)$ и $(0, 0, c)$, где $a, b, c \neq 0$, ее уравнение можно записать в виде:

$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$

Эта форма удобна для быстрого построения плоскости.

Ответ: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$.

5. Нормальное (нормированное) уравнение плоскости

Данный вид уравнения удобен для нахождения расстояния от точки до плоскости. Оно имеет вид:

$x \cos \alpha + y \cos \beta + z \cos \gamma - p = 0$

Здесь $p$ – это длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость ($p \ge 0$), а $\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ – направляющие косинусы этого перпендикуляра (то есть координаты единичного вектора нормали $\vec{n^0}$). Общее уравнение $Ax + By + Cz + D = 0$ приводится к нормальному виду умножением на нормирующий множитель $\mu = \pm \frac{1}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$, знак которого выбирается противоположным знаку $D$.

Ответ: $x \cos \alpha + y \cos \beta + z \cos \gamma - p = 0$.

6. Параметрическое уравнение плоскости

Плоскость можно задать точкой $M_0(x_0, y_0, z_0)$, через которую она проходит, и двумя неколлинеарными (непараллельными) направляющими векторами $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$ и $\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$, параллельными этой плоскости. Тогда радиус-вектор $\vec{r}$ любой точки $M(x,y,z)$ плоскости можно представить как сумму радиус-вектора $\vec{r_0}$ точки $M_0$ и линейной комбинации направляющих векторов. В координатах это записывается системой уравнений:

$\begin{cases} x = x_0 + u a_1 + v b_1 \\ y = y_0 + u a_2 + v b_2 \\ z = z_0 + u a_3 + v b_3 \end{cases}$

где $u$ и $v$ – произвольные действительные числа (параметры).

Ответ: $\begin{cases} x = x_0 + u a_1 + v b_1 \\ y = y_0 + u a_2 + v b_2 \\ z = z_0 + u a_3 + v b_3 \end{cases}$, где $u, v \in \mathbb{R}$.