Задания, страница 59 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Напишите уравнение плоскости, проходящей через точки $A_0(a; 0; 0)$, $B_0(0; b; 0)$ и параллельной оси $Oz$, где $a, b$ — числа, отличные от нуля.

Дано:

Плоскость проходит через точки $A_0(a; 0; 0)$ и $B_0(0; b; 0)$.

Плоскость параллельна оси $Oz$.

Числа $a$ и $b$ отличны от нуля ($a \ne 0, b \ne 0$).

Найти:

Уравнение плоскости.

Решение:

Общее уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$, где $\vec{n} = (A, B, C)$ — вектор нормали к плоскости.

Для нахождения уравнения искомой плоскости нам нужен один из ее векторов нормали и любая точка, принадлежащая этой плоскости. В качестве точки можно взять, например, $A_0(a; 0; 0)$.

Найдем два неколлинеарных вектора, параллельных нашей плоскости.

1. Так как точки $A_0(a; 0; 0)$ и $B_0(0; b; 0)$ лежат в плоскости, то вектор $\vec{A_0B_0}$ также лежит в этой плоскости (или параллелен ей). Найдем его координаты:

$\vec{v_1} = \vec{A_0B_0} = (0-a; b-0; 0-0) = (-a; b; 0)$.

2. По условию, плоскость параллельна оси $Oz$. Направляющий вектор оси $Oz$ — это вектор $\vec{k} = (0; 0; 1)$. Следовательно, этот вектор параллелен нашей плоскости.

$\vec{v_2} = \vec{k} = (0; 0; 1)$.

Вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости перпендикулярен любым двум неколлинеарным векторам, лежащим в этой плоскости. Значит, его можно найти как векторное произведение векторов $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$:

$\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -a & b & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}(b \cdot 1 - 0 \cdot 0) - \vec{j}(-a \cdot 1 - 0 \cdot 0) + \vec{k}(-a \cdot 0 - b \cdot 0) = b\vec{i} + a\vec{j} + 0\vec{k}$.

Таким образом, вектор нормали $\vec{n} = (b; a; 0)$.

Коэффициенты в уравнении плоскости: $A=b$, $B=a$, $C=0$. Уравнение принимает вид:

$bx + ay + 0 \cdot z + D = 0 \Rightarrow bx + ay + D = 0$.

Чтобы найти коэффициент $D$, подставим в это уравнение координаты точки $A_0(a; 0; 0)$, которая принадлежит плоскости:

$b \cdot a + a \cdot 0 + D = 0 \Rightarrow ab + D = 0 \Rightarrow D = -ab$.

Подставим значение $D$ в уравнение плоскости:

$bx + ay - ab = 0$.

Это и есть искомое уравнение. Его можно представить в другом виде. Перенесем свободный член в правую часть:

$bx + ay = ab$.

Так как по условию $a \ne 0$ и $b \ne 0$, то их произведение $ab \ne 0$. Разделим обе части уравнения на $ab$:

$\frac{bx}{ab} + \frac{ay}{ab} = \frac{ab}{ab}$

$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$.

Это уравнение плоскости "в отрезках" на осях $Ox$ и $Oy$. Оно не содержит переменной $z$, что подтверждает параллельность плоскости оси $Oz$.

Ответ: $bx + ay - ab = 0$ или $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$.