Номер 9.3, страница 62 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

9.3. Напишите уравнение плоскости, которая проходит через точку $A_0(1; -2; 3)$ и параллельна координатной плоскости:

а) $Oxy$;

б) $Oxz$;

в) $Oyz$.

Дано:

Точка $A_0(1; -2; 3)$.

Плоскость проходит через точку $A_0$ и параллельна одной из координатных плоскостей.

Найти:

Уравнение плоскости для каждого случая:

а) плоскость параллельна координатной плоскости $Oxy$;

б) плоскость параллельна координатной плоскости $Oxz$;

в) плоскость параллельна координатной плоскости $Oyz$.

Решение:

Общее уравнение плоскости, проходящей через точку $A_0(x_0; y_0; z_0)$ и имеющей нормальный вектор $\vec{n} = (A; B; C)$, имеет вид:

$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$

Две плоскости параллельны, если их нормальные векторы коллинеарны. Поэтому для нахождения уравнения искомой плоскости мы можем использовать нормальный вектор соответствующей координатной плоскости.

а) Плоскость параллельна координатной плоскости $Oxy$.

Координатная плоскость $Oxy$ задается уравнением $z = 0$. Ее нормальный вектор $\vec{n}_{Oxy} = (0; 0; 1)$.

Искомая плоскость параллельна плоскости $Oxy$, значит, ее нормальный вектор $\vec{n}$ коллинеарен вектору $\vec{n}_{Oxy}$. Можно взять $\vec{n} = (0; 0; 1)$.

Точка, через которую проходит плоскость, — $A_0(1; -2; 3)$.

Подставляем координаты точки $A_0$ и нормального вектора $\vec{n}$ в уравнение плоскости:

$0 \cdot (x - 1) + 0 \cdot (y - (-2)) + 1 \cdot (z - 3) = 0$

$z - 3 = 0$

$z = 3$

Ответ: $z = 3$.

б) Плоскость параллельна координатной плоскости $Oxz$.

Координатная плоскость $Oxz$ задается уравнением $y = 0$. Ее нормальный вектор $\vec{n}_{Oxz} = (0; 1; 0)$.

Искомая плоскость параллельна плоскости $Oxz$, значит, ее нормальный вектор $\vec{n}$ можно взять равным $\vec{n}_{Oxz} = (0; 1; 0)$.

Точка, через которую проходит плоскость, — $A_0(1; -2; 3)$.

Подставляем координаты точки $A_0$ и нормального вектора $\vec{n}$ в уравнение плоскости:

$0 \cdot (x - 1) + 1 \cdot (y - (-2)) + 0 \cdot (z - 3) = 0$

$y + 2 = 0$

$y = -2$

Ответ: $y = -2$.

в) Плоскость параллельна координатной плоскости $Oyz$.

Координатная плоскость $Oyz$ задается уравнением $x = 0$. Ее нормальный вектор $\vec{n}_{Oyz} = (1; 0; 0)$.

Искомая плоскость параллельна плоскости $Oyz$, значит, ее нормальный вектор $\vec{n}$ можно взять равным $\vec{n}_{Oyz} = (1; 0; 0)$.

Точка, через которую проходит плоскость, — $A_0(1; -2; 3)$.

Подставляем координаты точки $A_0$ и нормального вектора $\vec{n}$ в уравнение плоскости:

$1 \cdot (x - 1) + 0 \cdot (y - (-2)) + 0 \cdot (z - 3) = 0$

$x - 1 = 0$

$x = 1$

Ответ: $x = 1$.