Номер 9.10, страница 63 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

9.10. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$ стороны основания и высота равны 4 см. Найдите косинус угла между плоскостями $SAB$ и:

а) $ABC$;

б) $SBC$;

в) $SCD$.

Дано:

SABCD - правильная четырехугольная пирамида

Сторона основания $a = 4$ см

Высота $h = SO = 4$ см

В системе СИ:
$a = 0.04$ м
$h = 0.04$ м

Найти:

а) косинус угла между плоскостями SAB и ABC, $\cos(\angle((SAB), (ABC)))$

б) косинус угла между плоскостями SAB и SBC, $\cos(\angle((SAB), (SBC)))$

в) косинус угла между плоскостями SAB и SCD, $\cos(\angle((SAB), (SCD)))$

Решение:

а) Косинус угла между плоскостями SAB и ABC

Угол между боковой гранью SAB и плоскостью основания ABC - это двугранный угол при ребре основания AB. В основании пирамиды лежит квадрат ABCD. Пусть O - центр квадрата, тогда SO - высота пирамиды. Проведем апофему SM в грани SAB, где M - середина ребра AB. По определению апофемы, $SM \perp AB$. В плоскости основания проведем отрезок OM. Так как O - центр квадрата и M - середина стороны AB, то $OM \perp AB$. Следовательно, линейный угол двугранного угла между плоскостями SAB и ABC - это угол $\angle SMO$. Рассмотрим прямоугольный треугольник SOM (угол $\angle SOM = 90^\circ$, так как SO - высота и перпендикулярна плоскости основания). Катет SO - это высота пирамиды, $SO = h = 4$ см. Катет OM равен половине стороны квадрата, так как O - его центр: $OM = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$ см. Найдем гипотенузу SM (апофему боковой грани) по теореме Пифагора: $SM = \sqrt{SO^2 + OM^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ см. Косинус угла $\angle SMO$ в прямоугольном треугольнике SOM равен отношению прилежащего катета к гипотенузе: $\cos(\angle SMO) = \frac{OM}{SM} = \frac{2}{2\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{5}}{5}$.

б) Косинус угла между плоскостями SAB и SBC

Угол между смежными боковыми гранями SAB и SBC - это двугранный угол при боковом ребре SB. Для нахождения линейного угла этого двугранного угла проведем перпендикуляры AH и CH к ребру SB в плоскостях SAB и SBC соответственно ($AH \perp SB$, $CH \perp SB$). Точка H будет общей. Тогда искомый угол - это $\angle AHC$. Для нахождения косинуса этого угла воспользуемся теоремой косинусов для треугольника AHC: $AC^2 = AH^2 + CH^2 - 2 \cdot AH \cdot CH \cdot \cos(\angle AHC)$. Поскольку пирамида правильная, ее боковые грани SAB и SBC являются равными равнобедренными треугольниками. Следовательно, высоты, проведенные к боковым сторонам из вершин основания, равны: $AH = CH$. Тогда формула упрощается: $AC^2 = 2AH^2 - 2AH^2 \cos(\angle AHC)$, откуда $\cos(\angle AHC) = \frac{2AH^2 - AC^2}{2AH^2} = 1 - \frac{AC^2}{2AH^2}$. Найдем длины отрезков AC и AH. AC - диагональ квадрата ABCD со стороной $a = 4$ см: $AC = a\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$ см. Тогда $AC^2 = (4\sqrt{2})^2 = 32$. Найдем длину бокового ребра SB. Рассмотрим прямоугольный треугольник SOB. OB - половина диагонали AC, $OB = \frac{1}{2}AC = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ см. По теореме Пифагора: $SB^2 = SO^2 + OB^2 = 4^2 + (2\sqrt{2})^2 = 16 + 8 = 24$. $SB = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$ см. Теперь найдем AH. AH - высота треугольника SAB, проведенная к стороне SB. Площадь треугольника SAB можно найти двумя способами. Используя апофему SM, найденную в пункте (а): $S_{\triangle SAB} = \frac{1}{2} AB \cdot SM = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2\sqrt{5} = 4\sqrt{5}$ см$^2$. С другой стороны, $S_{\triangle SAB} = \frac{1}{2} SB \cdot AH$. $4\sqrt{5} = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{6} \cdot AH \implies AH = \frac{4\sqrt{5}}{\sqrt{6}} = \frac{4\sqrt{30}}{6} = \frac{2\sqrt{30}}{3}$ см. Тогда $AH^2 = (\frac{2\sqrt{30}}{3})^2 = \frac{4 \cdot 30}{9} = \frac{120}{9} = \frac{40}{3}$. Подставляем найденные значения в формулу для косинуса: $\cos(\angle AHC) = 1 - \frac{32}{2 \cdot (40/3)} = 1 - \frac{32}{80/3} = 1 - \frac{32 \cdot 3}{80} = 1 - \frac{96}{80} = 1 - \frac{6}{5} = -\frac{1}{5}$.

Ответ: $-\frac{1}{5}$.

в) Косинус угла между плоскостями SAB и SCD

Плоскости SAB и SCD - это противолежащие боковые грани. Они пересекаются по прямой, проходящей через вершину S и параллельной ребрам AB и CD. Линейным углом двугранного угла между этими плоскостями будет угол между их апофемами SM и SN, где M - середина AB, а N - середина CD. Искомый угол - это $\angle MSN$. Рассмотрим треугольник MSN. $SM = SN = 2\sqrt{5}$ см (апофемы, найдены в пункте а). MN - отрезок, соединяющий середины противолежащих сторон квадрата, поэтому его длина равна стороне квадрата: $MN = AD = 4$ см. Применим к треугольнику MSN теорему косинусов: $MN^2 = SM^2 + SN^2 - 2 \cdot SM \cdot SN \cdot \cos(\angle MSN)$. $4^2 = (2\sqrt{5})^2 + (2\sqrt{5})^2 - 2 \cdot 2\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{5} \cdot \cos(\angle MSN)$. $16 = 20 + 20 - 2 \cdot (20) \cdot \cos(\angle MSN)$. $16 = 40 - 40 \cos(\angle MSN)$. $40 \cos(\angle MSN) = 40 - 16 = 24$. $\cos(\angle MSN) = \frac{24}{40} = \frac{3}{5}$.

Ответ: $\frac{3}{5}$.