Номер 9.13, страница 63 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

9.13. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$ стороны основания и высота равны 2 см (рис. 9.6). Найдите косинус угла между плоскостями $SAD$ и $SBC$.

Рис. 9.6

Дано:

$SABCD$ – правильная четырехугольная пирамида.
Сторона основания $a = 2$ см.
Высота $h = 2$ см.

$a = 0.02$ м.
$h = 0.02$ м.

Найти:

Косинус угла $\alpha$ между плоскостями боковых граней $(SAD)$ и $(SBC)$.

Решение:

Угол между двумя пересекающимися плоскостями — это величина линейного угла, образованного при пересечении этих плоскостей третьей плоскостью, перпендикулярной их линии пересечения.

В основании правильной пирамиды $SABCD$ лежит квадрат $ABCD$, поэтому его противоположные стороны параллельны, то есть $AD \parallel BC$. Плоскости $(SAD)$ и $(SBC)$ проходят через эти параллельные прямые и имеют общую точку $S$. Следовательно, линия их пересечения — это прямая $l$, проходящая через вершину $S$ и параллельная прямым $AD$ и $BC$.

Для построения линейного угла двугранного угла проведем апофемы в гранях $SAD$ и $SBC$. Пусть $M$ — середина ребра $AD$, а $N$ — середина ребра $BC$.

Поскольку пирамида правильная, ее боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками. В равнобедренном треугольнике $SAD$ медиана $SM$ является также и высотой, то есть $SM \perp AD$. Аналогично, в треугольнике $SBC$ медиана $SN$ является высотой, то есть $SN \perp BC$.

Так как линия пересечения плоскостей $l \parallel AD$ и $SM \perp AD$, то $SM \perp l$. Аналогично, $SN \perp BC$ и $l \parallel BC$, следовательно, $SN \perp l$.

Таким образом, угол $\angle MSN$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $(SAD)$ и $(SBC)$. Чтобы найти косинус этого угла, рассмотрим треугольник $MSN$.

Для дальнейших вычислений будем использовать исходные данные в сантиметрах.

Найдем длины сторон треугольника $MSN$:

1. Отрезок $MN$ соединяет середины противоположных сторон квадрата $ABCD$. Его длина равна стороне квадрата: $MN = AB = a = 2$ см.

2. Длины $SM$ и $SN$ являются апофемами пирамиды. Найдем длину апофемы $SM$, рассмотрев прямоугольный треугольник $SOM$, где $O$ — центр основания (точка пересечения диагоналей квадрата). $SO$ — высота пирамиды. $SO = h = 2$ см. Отрезок $OM$ соединяет центр квадрата с серединой стороны $AD$, поэтому его длина равна половине стороны $AB$: $OM = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$ см.

По теореме Пифагора для треугольника $SOM$ ($ \angle SOM = 90^\circ $):$SM^2 = SO^2 + OM^2$$SM^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$$SM = \sqrt{5}$ см.

Так как пирамида правильная, все ее апофемы равны, поэтому $SN = SM = \sqrt{5}$ см.

3. Теперь мы знаем все стороны треугольника $MSN$: $SM = \sqrt{5}$ см, $SN = \sqrt{5}$ см и $MN = 2$ см.

Применим теорему косинусов к треугольнику $MSN$, чтобы найти $\cos(\angle MSN)$:$MN^2 = SM^2 + SN^2 - 2 \cdot SM \cdot SN \cdot \cos(\angle MSN)$

Подставим известные значения:$2^2 = (\sqrt{5})^2 + (\sqrt{5})^2 - 2 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} \cdot \cos(\angle MSN)$$4 = 5 + 5 - 2 \cdot 5 \cdot \cos(\angle MSN)$$4 = 10 - 10 \cdot \cos(\angle MSN)$$10 \cdot \cos(\angle MSN) = 10 - 4$$10 \cdot \cos(\angle MSN) = 6$$\cos(\angle MSN) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

Ответ: $\frac{3}{5}$.