Вопрос?, страница 64 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Какой угол образует ось $Ox$ и плоскость $yOz$?

Дано:

Прямоугольная система координат Oxyz.

Ось абсцисс Ox.

Координатная плоскость yOz.

Найти:

Угол между осью Ox и плоскостью yOz.

Решение:

Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость. Для нахождения этого угла можно использовать как геометрические соображения, так и аналитический метод с использованием векторов.

1. Геометрический способ

В прямоугольной декартовой системе координат оси Ox, Oy и Oz по определению являются взаимно перпендикулярными. Это значит, что угол между любой парой координатных осей составляет $90^\circ$.

Плоскость yOz задаётся двумя пересекающимися осями: Oy и Oz.

Ось Ox перпендикулярна оси Oy и перпендикулярна оси Oz:

Ox $\perp$ Oy

Ox $\perp$ Oz

Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости. Так как ось Ox перпендикулярна осям Oy и Oz, которые лежат в плоскости yOz и пересекаются в начале координат O, то ось Ox перпендикулярна всей плоскости yOz.

По определению, угол, который образует прямая с плоскостью, которой она перпендикулярна, равен $90^\circ$.

2. Аналитический (векторный) способ

Угол $\alpha$ между прямой (с направляющим вектором $\vec{s}$) и плоскостью (с вектором нормали $\vec{n}$) можно найти с помощью формулы:

$\sin \alpha = \frac{|\vec{s} \cdot \vec{n}|}{|\vec{s}| \cdot |\vec{n}|}$

В качестве направляющего вектора для оси Ox выберем единичный вектор $\vec{s} = \vec{i} = \{1; 0; 0\}$.

Плоскость yOz состоит из всех точек пространства, у которых координата $x$ равна нулю. Следовательно, уравнение этой плоскости имеет вид $x = 0$. В общем виде это уравнение можно записать как $1 \cdot x + 0 \cdot y + 0 \cdot z = 0$.

Вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости, заданной уравнением $Ax + By + Cz + D = 0$, имеет координаты $\{A; B; C\}$. Для плоскости yOz ($x=0$) вектор нормали будет $\vec{n} = \{1; 0; 0\}$.

Теперь вычислим необходимые значения для формулы.

Скалярное произведение векторов:

$\vec{s} \cdot \vec{n} = 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 = 1$

Модули (длины) векторов:

$|\vec{s}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1$

$|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1$

Подставим полученные значения в формулу для синуса угла:

$\sin \alpha = \frac{|1|}{1 \cdot 1} = 1$

Угол, синус которого равен 1, это $\alpha = 90^\circ$ (или $\frac{\pi}{2}$ радиан).

Оба метода показывают, что ось Ox перпендикулярна плоскости yOz.

Ответ: 90°.