Номер 10.3, страница 66 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

10.3. Выясните взаимное расположение прямой, заданной параметрическими уравнениями:

$\begin{cases} x = 1 - 2t, \\ y = 1 - 6t, \\ z = 1 + 4t \end{cases}$

и плоскости, заданной уравнением:

а) $x + 3y - 2z + 4 = 0$;

б) $3x - y + 1 = 0$;

в) $2x + z - 3 = 0$.

Дано:

Параметрические уравнения прямой L:

$ \begin{cases} x = 1 - 2t, \\ y = 1 - 6t, \\ z = 1 + 4t \end{cases} $

Уравнения плоскостей:

а) $x + 3y - 2z + 4 = 0$

б) $3x - y + 1 = 0$

в) $2x + z - 3 = 0$

Найти:

Взаимное расположение прямой L и каждой из плоскостей.

Решение:

Для определения взаимного расположения прямой и плоскости подставим параметрические выражения для $x, y$ и $z$ из уравнений прямой в уравнение плоскости. В результате получится линейное уравнение относительно параметра $t$.

Возможны три случая:

1. Если уравнение имеет единственное решение для $t$, это означает, что существует только одна точка, удовлетворяющая как уравнениям прямой, так и уравнению плоскости. Следовательно, прямая и плоскость пересекаются в одной точке.

2. Если в результате преобразований получается неверное числовое равенство (например, $C = 0$, где $C \ne 0$), уравнение не имеет решений. Это означает, что у прямой и плоскости нет общих точек, то есть прямая параллельна плоскости.

3. Если в результате преобразований получается тождество (например, $0 = 0$), уравнение верно для любого значения $t$. Это означает, что любая точка прямой принадлежит плоскости, то есть прямая лежит в плоскости.

а)

Рассмотрим плоскость, заданную уравнением $x + 3y - 2z + 4 = 0$.

Подставим выражения для $x, y, z$ в уравнение плоскости:

$(1 - 2t) + 3(1 - 6t) - 2(1 + 4t) + 4 = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$1 - 2t + 3 - 18t - 2 - 8t + 4 = 0$

$(-2 - 18 - 8)t + (1 + 3 - 2 + 4) = 0$

$-28t + 6 = 0$

$28t = 6$

$t = \frac{6}{28} = \frac{3}{14}$

Так как уравнение имеет единственное решение для $t$, прямая и плоскость пересекаются в одной точке.

Ответ: Прямая и плоскость пересекаются в одной точке.

б)

Рассмотрим плоскость, заданную уравнением $3x - y + 1 = 0$.

Подставим выражения для $x, y, z$ в уравнение плоскости:

$3(1 - 2t) - (1 - 6t) + 1 = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$3 - 6t - 1 + 6t + 1 = 0$

$(-6 + 6)t + (3 - 1 + 1) = 0$

$0 \cdot t + 3 = 0$

$3 = 0$

Полученное равенство неверно, следовательно, уравнение не имеет решений. Это означает, что у прямой и плоскости нет общих точек, и прямая параллельна плоскости.

Ответ: Прямая параллельна плоскости.

в)

Рассмотрим плоскость, заданную уравнением $2x + z - 3 = 0$.

Подставим выражения для $x, y, z$ в уравнение плоскости:

$2(1 - 2t) + (1 + 4t) - 3 = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$2 - 4t + 1 + 4t - 3 = 0$

$(-4 + 4)t + (2 + 1 - 3) = 0$

$0 \cdot t + 0 = 0$

$0 = 0$

Полученное равенство является тождеством, верным для любого значения параметра $t$. Это означает, что любая точка прямой принадлежит плоскости.

Ответ: Прямая лежит в плоскости.