Номер 10.4, страница 66 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

10.4. Для прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, у которого

$AB = 3, AD = 2, AA_1 = 1$, найдите синус угла между прямой $DB_1$

и плоскостью: a) $ABC$; б) $ADD_1$; в) $CDD_1$.

Дано:

Прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$

$AB = 3$

$AD = 2$

$AA_1 = 1$

Найти:

Синус угла между прямой $DB_1$ и плоскостями:

а) $ABC$

б) $ADD_1$

в) $CDD_1$

Решение:

Углом между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость. Синус этого угла равен отношению длины перпендикуляра, опущенного из точки на прямой (не лежащей в плоскости) на эту плоскость, к длине отрезка прямой от этой точки до точки пересечения прямой с плоскостью.

Сначала найдем длину главной диагонали параллелепипеда $DB_1$. Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений:

$DB_1^2 = AB^2 + AD^2 + AA_1^2 = 3^2 + 2^2 + 1^2 = 9 + 4 + 1 = 14$

$DB_1 = \sqrt{14}$

Теперь рассмотрим каждый случай отдельно.

а) Найдем синус угла $\alpha$ между прямой $DB_1$ и плоскостью $ABC$.

Проекцией точки $B_1$ на плоскость $ABC$ является точка $B$. Проекцией точки $D$ на плоскость $ABC$ является сама точка $D$. Следовательно, проекцией прямой $DB_1$ на плоскость $ABC$ является прямая $DB$.

Искомый угол $\alpha$ - это угол между прямой $DB_1$ и её проекцией $DB$, то есть угол $\angle B_1DB$.

Рассмотрим треугольник $\triangle B_1DB$. Так как $BB_1$ - ребро, перпендикулярное основанию $ABCD$, то $BB_1 \perp DB$. Значит, $\triangle B_1DB$ - прямоугольный с прямым углом при вершине $B$.

В этом треугольнике:

• Гипотенуза $DB_1 = \sqrt{14}$.
• Катет $BB_1$, противолежащий углу $\alpha$, равен высоте параллелепипеда: $BB_1 = AA_1 = 1$.

Синус угла $\alpha$ равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

$\sin(\alpha) = \frac{BB_1}{DB_1} = \frac{1}{\sqrt{14}} = \frac{\sqrt{14}}{14}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{14}}{14}$.

б) Найдем синус угла $\beta$ между прямой $DB_1$ и плоскостью $ADD_1$.

Плоскость $ADD_1$ - это боковая грань $ADD_1A_1$. Проекцией точки $B_1$ на эту плоскость является точка $A_1$, так как ребро $A_1B_1$ перпендикулярно грани $ADD_1A_1$. Проекцией точки $D$ на эту плоскость является сама точка $D$. Следовательно, проекцией прямой $DB_1$ на плоскость $ADD_1$ является прямая $DA_1$.

Искомый угол $\beta$ - это угол между прямой $DB_1$ и её проекцией $DA_1$, то есть угол $\angle B_1DA_1$.

Рассмотрим треугольник $\triangle B_1DA_1$. Так как $A_1B_1 \perp ADD_1A_1$, то $A_1B_1 \perp DA_1$. Значит, $\triangle B_1DA_1$ - прямоугольный с прямым углом при вершине $A_1$.

В этом треугольнике:

• Гипотенуза $DB_1 = \sqrt{14}$.
• Катет $A_1B_1$, противолежащий углу $\beta$, равен ребру $AB$: $A_1B_1 = AB = 3$.

Синус угла $\beta$ равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

$\sin(\beta) = \frac{A_1B_1}{DB_1} = \frac{3}{\sqrt{14}} = \frac{3\sqrt{14}}{14}$.

Ответ: $\frac{3\sqrt{14}}{14}$.

в) Найдем синус угла $\gamma$ между прямой $DB_1$ и плоскостью $CDD_1$.

Плоскость $CDD_1$ - это боковая грань $CDD_1C_1$. Проекцией точки $B_1$ на эту плоскость является точка $C_1$, так как ребро $B_1C_1$ перпендикулярно грани $CDD_1C_1$. Проекцией точки $D$ на эту плоскость является сама точка $D$. Следовательно, проекцией прямой $DB_1$ на плоскость $CDD_1$ является прямая $DC_1$.

Искомый угол $\gamma$ - это угол между прямой $DB_1$ и её проекцией $DC_1$, то есть угол $\angle B_1DC_1$.

Рассмотрим треугольник $\triangle B_1DC_1$. Так как $B_1C_1 \perp CDD_1C_1$, то $B_1C_1 \perp DC_1$. Значит, $\triangle B_1DC_1$ - прямоугольный с прямым углом при вершине $C_1$.

В этом треугольнике:

• Гипотенуза $DB_1 = \sqrt{14}$.
• Катет $B_1C_1$, противолежащий углу $\gamma$, равен ребру $AD$: $B_1C_1 = AD = 2$.

Синус угла $\gamma$ равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

$\sin(\gamma) = \frac{B_1C_1}{DB_1} = \frac{2}{\sqrt{14}} = \frac{2\sqrt{14}}{14} = \frac{\sqrt{14}}{7}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{14}}{7}$.