Номер 10.6, страница 66 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

10.6. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$, стороны основания и высота которой равны 4 см, найдите синус угла между плоскостью $SAB$ и прямой:

a) $BC$;

б) $AC$;

в) $SC$.

Дано:

SABCD - правильная четырехугольная пирамида.
Сторона основания $a = AB = BC = CD = DA = 4 \text{ см}$.
Высота пирамиды $h = SO = 4 \text{ см}$ (где O - центр основания).

Перевод в систему СИ:
$a = 0.04 \text{ м}$
$h = 0.04 \text{ м}$

Найти:

Синус угла $\phi$ между плоскостью $SAB$ и прямой:
а) $BC$
б) $AC$
в) $SC$

Решение:

Для решения задачи используем метод координат. Так как искомая величина (синус угла) является безразмерной, для удобства будем использовать данные в сантиметрах.

Введем прямоугольную систему координат. Поместим начало координат в вершину $D$ основания. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $DC$, ось $Oy$ вдоль ребра $DA$. Ось $Oz$ направим перпендикулярно плоскости основания.

В этой системе координат вершины основания имеют следующие координаты:
$D(0, 0, 0)$
$A(0, 4, 0)$
$C(4, 0, 0)$
$B(4, 4, 0)$

Основание высоты $O$ является центром квадрата $ABCD$ и имеет координаты $O(2, 2, 0)$. Так как высота пирамиды равна 4, вершина $S$ имеет координаты $S(2, 2, 4)$.

Угол $\phi$ между прямой и плоскостью можно найти по формуле:
$\sin \phi = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| \cdot |\vec{n}|}$,
где $\vec{v}$ — направляющий вектор прямой, а $\vec{n}$ — вектор нормали к плоскости.

Найдем вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости $SAB$. Для этого найдем два неколлинеарных вектора, лежащих в этой плоскости, например, $\vec{AS}$ и $\vec{AB}$, и вычислим их векторное произведение.
$\vec{AS} = S - A = (2-0, 2-4, 4-0) = (2, -2, 4)$
$\vec{AB} = B - A = (4-0, 4-4, 0-0) = (4, 0, 0)$

$\vec{n} = \vec{AS} \times \vec{AB} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -2 & 4 \\ 4 & 0 & 0 \end{vmatrix} = \vec{i}(-2 \cdot 0 - 4 \cdot 0) - \vec{j}(2 \cdot 0 - 4 \cdot 4) + \vec{k}(2 \cdot 0 - (-2) \cdot 4) = 0\vec{i} + 16\vec{j} + 8\vec{k} = (0, 16, 8)$.

В качестве вектора нормали можно взять любой коллинеарный вектор, например, разделив на 8: $\vec{n} = (0, 2, 1)$.
Найдем его модуль: $|\vec{n}| = \sqrt{0^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$.

Теперь найдем синусы углов для каждой из прямых.

а) BC

Найдем направляющий вектор прямой $BC$:
$\vec{v}_{BC} = C - B = (4-4, 0-4, 0-0) = (0, -4, 0)$.
Модуль вектора: $|\vec{v}_{BC}| = \sqrt{0^2 + (-4)^2 + 0^2} = 4$.
Скалярное произведение: $\vec{v}_{BC} \cdot \vec{n} = 0 \cdot 0 + (-4) \cdot 2 + 0 \cdot 1 = -8$.
Синус угла $\phi_a$:
$\sin \phi_a = \frac{|-8|}{4 \cdot \sqrt{5}} = \frac{8}{4\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$.
Ответ: $\frac{2\sqrt{5}}{5}$

б) AC

Найдем направляющий вектор прямой $AC$:
$\vec{v}_{AC} = C - A = (4-0, 0-4, 0-0) = (4, -4, 0)$.
Модуль вектора (длина диагонали основания): $|\vec{v}_{AC}| = \sqrt{4^2 + (-4)^2 + 0^2} = \sqrt{16+16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$.
Скалярное произведение: $\vec{v}_{AC} \cdot \vec{n} = 4 \cdot 0 + (-4) \cdot 2 + 0 \cdot 1 = -8$.
Синус угла $\phi_б$:
$\sin \phi_б = \frac{|-8|}{4\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}} = \frac{8}{4\sqrt{10}} = \frac{2}{\sqrt{10}} = \frac{2\sqrt{10}}{10} = \frac{\sqrt{10}}{5}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{10}}{5}$

в) SC

Найдем направляющий вектор прямой $SC$:
$\vec{v}_{SC} = C - S = (4-2, 0-2, 0-4) = (2, -2, -4)$.
Модуль вектора (длина бокового ребра): $|\vec{v}_{SC}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{4+4+16} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$.
Скалярное произведение: $\vec{v}_{SC} \cdot \vec{n} = 2 \cdot 0 + (-2) \cdot 2 + (-4) \cdot 1 = -4 - 4 = -8$.
Синус угла $\phi_в$:
$\sin \phi_в = \frac{|-8|}{2\sqrt{6} \cdot \sqrt{5}} = \frac{8}{2\sqrt{30}} = \frac{4}{\sqrt{30}} = \frac{4\sqrt{30}}{30} = \frac{2\sqrt{30}}{15}$.
Ответ: $\frac{2\sqrt{30}}{15}$