Номер 10.10, страница 67 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

10.10. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$ все ребра равны 2 см (рис. 10.7). Найдите синус угла между прямой $EB_1$ и плоскостью $ABD_1$.

Рис. 10.7

Дано:

В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все ребра равны 2 см.

Перевод в СИ:
Длина ребра $a = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$.
Высота призмы $h = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$.

Найти:

Синус угла $\alpha$ между прямой $EB_1$ и плоскостью $ABD_1$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат. Пусть начало координат $O$ находится в центре нижнего основания $ABCDEF$. Ось $Ox$ направим вдоль луча $OD$, ось $Oy$ — перпендикулярно $Ox$ в плоскости основания, а ось $Oz$ — параллельно боковому ребру $AA_1$.

Так как призма правильная, в ее основании лежит правильный шестиугольник со стороной $a=2$. Высота призмы равна боковому ребру, $h=2$. Расстояние от центра правильного шестиугольника до его вершин равно стороне шестиугольника, то есть 2.

Определим координаты необходимых точек в этой системе координат:
Точки нижнего основания (лежат в плоскости $z=0$):
• $A$: находится на отрицательной части оси $Ox$, $A(-2, 0, 0)$.
• $B$: $B(2\cos(120^\circ), 2\sin(120^\circ), 0) = B(-1, \sqrt{3}, 0)$.
• $E$: $E(2\cos(-60^\circ), 2\sin(-60^\circ), 0) = E(1, -\sqrt{3}, 0)$.
Точки верхнего основания (лежат в плоскости $z=2$):
• $B_1$: имеет те же координаты $x$ и $y$, что и $B$, $z=2$. $B_1(-1, \sqrt{3}, 2)$.
• $D_1$: точка $D$ лежит на положительной части оси $Ox$, $D(2, 0, 0)$, тогда $D_1(2, 0, 2)$.

Найдем направляющий вектор $\vec{v}$ прямой $EB_1$:
$\vec{v} = \vec{EB_1} = \{x_{B_1} - x_E; y_{B_1} - y_E; z_{B_1} - z_E\} = \{-1 - 1; \sqrt{3} - (-\sqrt{3}); 2 - 0\} = \{-2, 2\sqrt{3}, 2\}$.
Для удобства вычислений можно использовать коллинеарный вектор, разделив координаты на 2: $\vec{v'} = \{-1, \sqrt{3}, 1\}$.

Найдем вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости $ABD_1$. Для этого сначала найдем два неколлинеарных вектора, лежащих в этой плоскости, например, $\vec{AB}$ и $\vec{AD_1}$:
$\vec{AB} = \{x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A\} = \{-1 - (-2); \sqrt{3} - 0; 0 - 0\} = \{1, \sqrt{3}, 0\}$.
$\vec{AD_1} = \{x_{D_1} - x_A; y_{D_1} - y_A; z_{D_1} - z_A\} = \{2 - (-2); 0 - 0; 2 - 0\} = \{4, 0, 2\}$.
Вектор нормали $\vec{n}$ перпендикулярен плоскости и находится как векторное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AD_1}$:
$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AD_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & \sqrt{3} & 0 \\ 4 & 0 & 2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(2\sqrt{3} - 0) - \mathbf{j}(2 - 0) + \mathbf{k}(0 - 4\sqrt{3}) = \{2\sqrt{3}, -2, -4\sqrt{3}\}$.
Упростим вектор нормали, разделив его на 2: $\vec{n'} = \{\sqrt{3}, -1, -2\sqrt{3}\}$.

Синус угла $\alpha$ между прямой и плоскостью вычисляется по формуле:
$\sin\alpha = \frac{|\vec{v'} \cdot \vec{n'}|}{|\vec{v'}| \cdot |\vec{n'}|}$.
Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{v'}$ и $\vec{n'}$:
$\vec{v'} \cdot \vec{n'} = (-1) \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot (-1) + 1 \cdot (-2\sqrt{3}) = -\sqrt{3} - \sqrt{3} - 2\sqrt{3} = -4\sqrt{3}$.
Вычислим модули векторов:
$|\vec{v'}| = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 3 + 1} = \sqrt{5}$.
$|\vec{n'}| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2 + (-2\sqrt{3})^2} = \sqrt{3 + 1 + 12} = \sqrt{16} = 4$.
Теперь подставим найденные значения в формулу для синуса угла:
$\sin\alpha = \frac{|-4\sqrt{3}|}{\sqrt{5} \cdot 4} = \frac{4\sqrt{3}}{4\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{15}}{5}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{15}}{5}$.