Номер 11.5, страница 70 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

11.5. Для прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, для которого $AB = 3$, $AD = 2$, $AA_1 = 1$, найдите расстояние от точки $A_1$ до плоскости $ABC_1$.

11.6.

Дано:

Прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$

$AB = 3$

$AD = 2$

$AA_1 = 1$

Найти:

Расстояние от точки $A_1$ до плоскости $ABC_1$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A(0,0,0)$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ вдоль ребра $AD$ и ось $Oz$ вдоль ребра $AA_1$.

В этой системе координат вершины, необходимые для решения, будут иметь следующие координаты:

$A(0, 0, 0)$

$B(3, 0, 0)$ (так как $AB=3$)

$A_1(0, 0, 1)$ (так как $AA_1=1$)

Координаты точки $C_1$ определяются смещением из точки $A$ вдоль ребер $AB$, $BC$ (равного $AD$) и $CC_1$ (равного $AA_1$), поэтому $C_1(3, 2, 1)$.

Составим уравнение плоскости, проходящей через точки $A(0, 0, 0)$, $B(3, 0, 0)$ и $C_1(3, 2, 1)$.

Общее уравнение плоскости имеет вид: $ax + by + cz + d = 0$.

Поскольку плоскость проходит через начало координат, точку $A(0, 0, 0)$, подставив ее координаты в уравнение, получим $a \cdot 0 + b \cdot 0 + c \cdot 0 + d = 0$, следовательно $d=0$. Уравнение принимает вид: $ax + by + cz = 0$.

Подставим координаты точки $B(3, 0, 0)$:

$a \cdot 3 + b \cdot 0 + c \cdot 0 = 0 \implies 3a = 0 \implies a = 0$.

Уравнение плоскости теперь имеет вид: $by + cz = 0$.

Подставим координаты точки $C_1(3, 2, 1)$:

$b \cdot 2 + c \cdot 1 = 0 \implies c = -2b$.

Выберем любое ненулевое значение для $b$, например, $b=1$. Тогда $c=-2$.

Таким образом, уравнение плоскости $ABC_1$ есть $y - 2z = 0$.

Теперь найдем искомое расстояние от точки $A_1(0, 0, 1)$ до плоскости $y - 2z = 0$. Воспользуемся формулой расстояния от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $ax+by+cz+d=0$:

$h = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$

В нашем случае точка $(x_0, y_0, z_0) = (0, 0, 1)$, а коэффициенты уравнения плоскости $0x + 1y - 2z + 0 = 0$ равны $a=0, b=1, c=-2, d=0$.

Подставляем значения в формулу:

$h = \frac{|0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - 2 \cdot 1 + 0|}{\sqrt{0^2 + 1^2 + (-2)^2}} = \frac{|-2|}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{5}$:

$h = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

Ответ: $\frac{2\sqrt{5}}{5}$.