Номер 11.2, страница 69 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

уравнением: а) $x + y = 1$, б) $x + y = -1$.

11.2. Для единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние от точки $A_1$ до плоскости $ABC_1$.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — единичный, следовательно, длина его ребра $a = 1$.

Найти:

Расстояние от точки $A_1$ до плоскости $ABC_1$, обозначим его $h$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат с началом в вершине $D$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $DA$, ось $Oy$ вдоль ребра $DC$ и ось $Oz$ вдоль ребра $DD_1$.

Поскольку куб единичный, его ребро равно 1. В этой системе координат необходимые нам вершины будут иметь следующие координаты:

$A(1, 0, 0)$

$B(1, 1, 0)$

$C_1(0, 1, 1)$

$A_1(1, 0, 1)$

Уравнение плоскости в общем виде записывается как $ax + by + cz + d = 0$, где $\vec{n} = (a, b, c)$ — вектор нормали к плоскости.

Чтобы найти уравнение плоскости $ABC_1$, найдем два неколлинеарных вектора, лежащих в этой плоскости, например, $\vec{AB}$ и $\vec{AC_1}$.

Найдем их координаты:

$\vec{AB} = (1-1, 1-0, 0-0) = (0, 1, 0)$

$\vec{AC_1} = (0-1, 1-0, 1-0) = (-1, 1, 1)$

Вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости $ABC_1$ перпендикулярен векторам $\vec{AB}$ и $\vec{AC_1}$, поэтому его можно найти как их векторное произведение:

$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) - \mathbf{j}(0 \cdot 1 - 0 \cdot (-1)) + \mathbf{k}(0 \cdot 1 - 1 \cdot (-1)) = 1\mathbf{i} + 0\mathbf{j} + 1\mathbf{k} = (1, 0, 1)$.

Таким образом, вектор нормали $\vec{n}=(1, 0, 1)$. Уравнение плоскости имеет вид $1 \cdot x + 0 \cdot y + 1 \cdot z + d = 0$, или $x + z + d = 0$.

Для нахождения коэффициента $d$ подставим в это уравнение координаты любой точки, принадлежащей плоскости, например, точки $A(1, 0, 0)$:

$1 + 0 + d = 0 \Rightarrow d = -1$.

Следовательно, уравнение плоскости $ABC_1$ имеет вид: $x + z - 1 = 0$.

Расстояние $h$ от точки $M_0(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $ax + by + cz + d = 0$ вычисляется по формуле:

$h = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$

Подставим в формулу координаты точки $A_1(1, 0, 1)$ и коэффициенты уравнения плоскости $x + z - 1 = 0$ (где $a=1, b=0, c=1, d=-1$):

$h = \frac{|1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 - 1|}{\sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2}} = \frac{|1 + 0 + 1 - 1|}{\sqrt{1 + 0 + 1}} = \frac{|1|}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$h = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $ \frac{\sqrt{2}}{2} $.