Номер 11.6, страница 70 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

11.6. Для прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, для которого $AB = 3$, $AD = 2$, $AA_1 = 1$, найдите расстояние от точки $C_1$ до плоскости $BCD_1$.

Дано:

Прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Длины ребер: $AB = 3$, $AD = 2$, $AA_1 = 1$.

Найти:

Расстояние от точки $C_1$ до плоскости $BCD_1$.

Решение:

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Поместим начало координат в точку $A(0, 0, 0)$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ вдоль ребра $AD$, а ось $Oz$ вдоль ребра $AA_1$.

В этой системе координат вершины параллелепипеда будут иметь следующие координаты:

$A(0, 0, 0)$

$B(3, 0, 0)$

$D(0, 2, 0)$

$A_1(0, 0, 1)$

Исходя из этого, найдем координаты нужных нам точек:

$C(3, 2, 0)$ (так как $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$)

$C_1(3, 2, 1)$ (так как $\vec{AC_1} = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1}$)

$D_1(0, 2, 1)$ (так как $\vec{AD_1} = \vec{AD} + \vec{AA_1}$)

Плоскость $BCD_1$ проходит через точки $B(3, 0, 0)$, $C(3, 2, 0)$ и $D_1(0, 2, 1)$.

Чтобы составить уравнение плоскости вида $Ax + By + Cz + D = 0$, найдем вектор нормали $\vec{n}$ к этой плоскости. Для этого вычислим векторное произведение двух векторов, лежащих в плоскости, например, $\vec{BC}$ и $\vec{BD_1}$.

Найдем координаты векторов:

$\vec{BC} = C - B = (3-3, 2-0, 0-0) = (0, 2, 0)$

$\vec{BD_1} = D_1 - B = (0-3, 2-0, 1-0) = (-3, 2, 1)$

Теперь найдем их векторное произведение:

$\vec{n} = \vec{BC} \times \vec{BD_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 2 & 0 \\ -3 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(2 \cdot 1 - 0 \cdot 2) - \mathbf{j}(0 \cdot 1 - 0 \cdot (-3)) + \mathbf{k}(0 \cdot 2 - 2 \cdot (-3)) = 2\mathbf{i} - 0\mathbf{j} + 6\mathbf{k} = (2, 0, 6)$.

В качестве вектора нормали можно взять любой коллинеарный вектор, например, разделив полученный на 2: $\vec{n'} = (1, 0, 3)$.

Таким образом, уравнение плоскости $BCD_1$ имеет вид $1 \cdot x + 0 \cdot y + 3 \cdot z + D = 0$, то есть $x + 3z + D = 0$.

Чтобы найти коэффициент $D$, подставим в уравнение координаты любой точки, принадлежащей плоскости, например, точки $B(3, 0, 0)$:

$3 + 3 \cdot 0 + D = 0 \Rightarrow D = -3$.

Итак, уравнение плоскости $BCD_1$: $x + 3z - 3 = 0$.

Теперь найдем расстояние $d$ от точки $C_1(3, 2, 1)$ до плоскости $x + 3z - 3 = 0$ по формуле расстояния от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Подставляем наши значения: $A=1, B=0, C=3, D=-3$ и $(x_0, y_0, z_0) = (3, 2, 1)$.

$d = \frac{|1 \cdot 3 + 0 \cdot 2 + 3 \cdot 1 - 3|}{\sqrt{1^2 + 0^2 + 3^2}} = \frac{|3 + 0 + 3 - 3|}{\sqrt{1 + 0 + 9}} = \frac{|3|}{\sqrt{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}}$.

Избавляясь от иррациональности в знаменателе, получаем:

$d = \frac{3\sqrt{10}}{10}$.

Ответ: Расстояние от точки $C_1$ до плоскости $BCD_1$ равно $\frac{3\sqrt{10}}{10}$.