Номер 11.1, страница 69 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

11.1. Найтите расстояние от точки $B_0(1; 1; 1)$ до плоскости, заданной уравнением:

а) $x + y = 1$;

б) $x + y + z = 1$.

Дано:

Точка $B_0(1; 1; 1)$

а) Плоскость, заданная уравнением: $x + y = 1$

б) Плоскость, заданная уравнением: $x + y + z = 1$

Найти:

Расстояние от точки $B_0$ до каждой из заданных плоскостей.

Решение:

Расстояние $d$ от точки $M(x_0; y_0; z_0)$ до плоскости, заданной общим уравнением $Ax + By + Cz + D = 0$, вычисляется по формуле:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

а)

Найдем расстояние от точки $B_0(1; 1; 1)$ до плоскости $x + y = 1$.

Сначала приведем уравнение плоскости к общему виду $Ax + By + Cz + D = 0$:

$1 \cdot x + 1 \cdot y + 0 \cdot z - 1 = 0$

Коэффициенты уравнения плоскости: $A=1$, $B=1$, $C=0$, $D=-1$.

Координаты точки: $x_0=1$, $y_0=1$, $z_0=1$.

Подставим значения в формулу расстояния:

$d = \frac{|1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 - 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2}} = \frac{|1 + 1 - 1|}{\sqrt{1 + 1}} = \frac{|1|}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$d = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

б)

Найдем расстояние от точки $B_0(1; 1; 1)$ до плоскости $x + y + z = 1$.

Приведем уравнение плоскости к общему виду $Ax + By + Cz + D = 0$:

$1 \cdot x + 1 \cdot y + 1 \cdot z - 1 = 0$

Коэффициенты уравнения плоскости: $A=1$, $B=1$, $C=1$, $D=-1$.

Координаты точки: $x_0=1$, $y_0=1$, $z_0=1$.

Подставим значения в формулу расстояния:

$d = \frac{|1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 - 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{|1 + 1 + 1 - 1|}{\sqrt{1 + 1 + 1}} = \frac{|2|}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$d = \frac{2 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $\frac{2\sqrt{3}}{3}$.